Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 22 май 2020, 08:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 783
Cпасибо сказано: 179
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, с решением однородного уравнения (проверьте ответ):
[math]xy'=y+\sqrt{y^{2} -x^{2} }[/math].

Преподаватель указал (заранее) ответ: [math]y^{3}(x+y) =Cx^{2}(x-y)[/math].

У меня получается такое общее решение: [math]y=Cx^{2}+\frac{ 1 }{4C }[/math] плюс ещё решения, которые теряются при неравносильных преобразованиях: [math]y= \pm x[/math] .

Правильно ли я решил уравнение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 22 май 2020, 10:12 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 568
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
174 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y' = \frac{ y }{ x } + \frac{ \sqrt{y^{2} - x^{2} } }{ x }[/math]

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]

[math]\frac{ du }{ dx }x = \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]

[math]\int \frac{ du }{ \sqrt{u^{2} - 1 } } = \int \frac{ dx }{ x }[/math]

[math]ln\left| u + \sqrt{u^{2} - 1 } \right| = ln\left| Cx \right| \ldots[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 22 май 2020, 10:49 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 783
Cпасибо сказано: 179
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
[math]y' = \frac{ y }{ x } + \frac{ \sqrt{y^{2} - x^{2} } }{ x }[/math]

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]

[math]\frac{ du }{ dx }x = \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]

[math]\int \frac{ du }{ \sqrt{u^{2} - 1 } } = \int \frac{ dx }{ x }[/math]

[math]ln\left| u + \sqrt{u^{2} - 1 } \right| = ln\left| Cx \right| \ldots[/math]


Я так же делал...
Интересует: не теряются ли при этом решения [math]y= \pm x[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 22 май 2020, 11:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4860
Cпасибо сказано: 143
Спасибо получено:
1695 раз в 1575 сообщениях
Очков репутации: 240

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно, что эти решения не входят в общее решение, т.е. их надо добавить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 22 май 2020, 12:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3095
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
897 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]




А если [math]x \in (- \infty ,0)[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 23 май 2020, 03:42 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 783
Cпасибо сказано: 179
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
AGN писал(а):

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]




А если [math]x \in (- \infty ,0)[/math]?


Здравствуйте. А можно поподробней? И как тогда решать? Как быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 23 май 2020, 06:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3095
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
897 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
351w писал(а):
venjar писал(а):
AGN писал(а):

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]




А если [math]x \in (- \infty ,0)[/math]?


Здравствуйте. А можно поподробней? И как тогда решать? Как быть?

На интервале [math]x \in (- \infty ,0)[/math] будет получаться другое уравнение:
[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u - \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
AGN
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 24 май 2020, 04:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 783
Cпасибо сказано: 179
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
351w писал(а):
venjar писал(а):
AGN писал(а):

[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]

[math]u'x + u = u + \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]




А если [math]x \in (- \infty ,0)[/math]?


Здравствуйте. А можно поподробней? И как тогда решать? Как быть?

На интервале [math]x \in (- \infty ,0)[/math] будет получаться другое уравнение:
[math]u = \frac{ y }{ x } \Rightarrow y = ux \Rightarrow y' = u'x + u[/math]


[math]u'x + u = u - \sqrt{u^{2} - 1 }[/math]


Объясните, пожалуйста, почему минус перед корнем (только перед корнем)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 24 май 2020, 08:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3095
Cпасибо сказано: 486
Спасибо получено:
897 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что

[math]\frac{ \sqrt{y^{2} - x^{2} } }{ x }=\sqrt{\frac{ y^2-x^2 }{ x^2 } }[/math] при х>0

[math]\frac{ \sqrt{y^{2} - x^{2} } }{ x }=-\sqrt{\frac{ y^2-x^2 }{ x^2 } }[/math] при х<0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

2

39

25 окт 2019, 15:42

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Decart

10

484

24 май 2016, 21:15

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Svetka1989

1

317

20 янв 2013, 17:53

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

1

42

01 дек 2019, 07:44

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

1

33

03 дек 2019, 14:16

дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

florian

6

437

07 май 2011, 14:50

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Maik

1

100

04 дек 2019, 14:55

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Merhaba

2

312

15 дек 2011, 17:25

дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

galinka1208

2

245

30 май 2012, 15:43

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Nero2699

1

36

06 дек 2019, 04:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved