Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
СообщениеДобавлено: 08 апр 2020, 10:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3546
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ведь должна быть система из двух уравнений, поскольку движутся два тела навстречу друг другу под действием переменной силы. Если их координаты [math]y_{1},y_{2}[/math], то сила будет [math]F= \gamma \frac{ m^{2} }{ (y_{1}-y_{2})^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
СообщениеДобавлено: 14 апр 2020, 10:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3546
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Заинтересовал меня вопрос: за какое время в удаленном космосе сблизятся два одинаковых шара массой m= 1 кг и диаметром d=0.1 м, разнесенных на расстояние L=1 м. Поскольку массы одинаковы, то они соединятся на расстоянии в 0.5 м, двигаясь с одинаковыми скоростями. Если x(t) - перемещение одного шара, то уравнение движения будет:
[math]m\frac{d^2 x}{d t^2}= \gamma \frac{ m^{2} }{ \left( L-2x \right) ^{2} }[/math]
Обозначим [math]a= \gamma m[/math]. Делаем замену [math]u(x)=\frac{d x}{d t}; ~ \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{d u}{d t}=u\frac{d u}{d x};~ udu=\frac{ adx }{ (L-2x)^{2} }[/math]
Интегрирование при начальном условии [math]x=0;~ \frac{d x}{d t}=0[/math] дает:
[math]u=\frac{d x}{d t}=\frac{ 2 }{ \sqrt{L} } \sqrt{\frac{ ax }{ L-2x } }[/math]. Еще раз интегрируем и получаем решение:
[math]t+c_{2} =\frac{ \sqrt{Lx}*\sqrt{\frac{ L-2x }{ ax } } \left[2\sqrt{x}\sqrt{L-2x}+\sqrt{2}L*arctg\left( \frac{ \sqrt{2x} }{ \sqrt{L-2x} } \right) \right] }{ 4\sqrt{L-2x} }[/math] [math]c_{2}[/math] находим из условия t=0; x=0.[math]\lim_{x \to 0}\sqrt{Lx}*\sqrt{\frac{ L-2x }{ ax } }=\frac{ L }{ \sqrt{a} }[/math]. [math]c_{2} =0[/math]
Получаются вот такие графики:
Изображение
Изображение
Шары массой 1 кг сблизятся за [math]\approx 18.63[/math] часа. Скорость в момент стыковки будет [math]\approx 0.12[/math] м/час
Если массы шаров будут не одинаковые, то очевидно придется решать систему диф. уравнений:
[math]m_{1} \frac{d^2x _{1} }{d t^2} = \gamma \frac{ m_{1}m_{2} }{ \left( L-x_{1}-x_{2} \right) ^{2} }[/math]
[math]m_{2} \frac{d^2x _{2} }{d t^2} = \gamma \frac{ m_{1}m_{2} }{ \left( L-x_{1}-x_{2} \right) ^{2} }[/math]. И видимо только численно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mephisto

8

421

09 ноя 2022, 19:31

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Yurievna

1

293

12 июн 2018, 17:09

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

unik68rus

1

293

15 фев 2022, 12:47

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

apple222

10

781

06 апр 2014, 20:21

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Yurievna

2

285

22 мар 2018, 18:44

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

matriarx

3

629

07 янв 2016, 12:23

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме MATLAB

ARLANDOblu

0

472

25 сен 2017, 23:27

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ledidil

6

572

16 июн 2014, 14:21

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

inkrot

10

674

23 май 2018, 20:28

Дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

nastya_vish94

5

376

09 янв 2015, 16:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved