Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
slava_psk |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Заинтересовал меня вопрос: за какое время в удаленном космосе сблизятся два одинаковых шара массой m= 1 кг и диаметром d=0.1 м, разнесенных на расстояние L=1 м. Поскольку массы одинаковы, то они соединятся на расстоянии в 0.5 м, двигаясь с одинаковыми скоростями. Если x(t) - перемещение одного шара, то уравнение движения будет:
[math]m\frac{d^2 x}{d t^2}= \gamma \frac{ m^{2} }{ \left( L-2x \right) ^{2} }[/math] Обозначим [math]a= \gamma m[/math]. Делаем замену [math]u(x)=\frac{d x}{d t}; ~ \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{d u}{d t}=u\frac{d u}{d x};~ udu=\frac{ adx }{ (L-2x)^{2} }[/math] Интегрирование при начальном условии [math]x=0;~ \frac{d x}{d t}=0[/math] дает: [math]u=\frac{d x}{d t}=\frac{ 2 }{ \sqrt{L} } \sqrt{\frac{ ax }{ L-2x } }[/math]. Еще раз интегрируем и получаем решение: [math]t+c_{2} =\frac{ \sqrt{Lx}*\sqrt{\frac{ L-2x }{ ax } } \left[2\sqrt{x}\sqrt{L-2x}+\sqrt{2}L*arctg\left( \frac{ \sqrt{2x} }{ \sqrt{L-2x} } \right) \right] }{ 4\sqrt{L-2x} }[/math] [math]c_{2}[/math] находим из условия t=0; x=0.[math]\lim_{x \to 0}\sqrt{Lx}*\sqrt{\frac{ L-2x }{ ax } }=\frac{ L }{ \sqrt{a} }[/math]. [math]c_{2} =0[/math] Получаются вот такие графики: Шары массой 1 кг сблизятся за [math]\approx 18.63[/math] часа. Скорость в момент стыковки будет [math]\approx 0.12[/math] м/час Если массы шаров будут не одинаковые, то очевидно придется решать систему диф. уравнений: [math]m_{1} \frac{d^2x _{1} }{d t^2} = \gamma \frac{ m_{1}m_{2} }{ \left( L-x_{1}-x_{2} \right) ^{2} }[/math] [math]m_{2} \frac{d^2x _{2} }{d t^2} = \gamma \frac{ m_{1}m_{2} }{ \left( L-x_{1}-x_{2} \right) ^{2} }[/math]. И видимо только численно. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 8 |
421 |
09 ноя 2022, 19:31 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 1 |
293 |
12 июн 2018, 17:09 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 1 |
293 |
15 фев 2022, 12:47 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 10 |
781 |
06 апр 2014, 20:21 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 2 |
285 |
22 мар 2018, 18:44 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 3 |
629 |
07 янв 2016, 12:23 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка
в форуме MATLAB |
0 |
472 |
25 сен 2017, 23:27 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 6 |
572 |
16 июн 2014, 14:21 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
10 |
674 |
23 май 2018, 20:28 |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка | 5 |
376 |
09 янв 2015, 16:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |