Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объясните получение дополнительного решения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=68148
Страница 1 из 1

Автор:  Hearthstoner [ 19 янв 2020, 00:10 ]
Заголовок сообщения:  Объясните получение дополнительного решения

В ответе задачника включено в общее решение - дополнительное (2y=x[math]^{2}[/math]+C), откуда оно получается?
Вот мой ход решения:
x[math]^{2}[/math]y[math]''[/math]=y[math]'[/math][math]^{2}[/math]
y[math]'[/math]=z(x)
x[math]^{2}[/math]z[math]'[/math]=z[math]^{2}[/math]
x[math]\frac{d z}{d x}[/math]=z[math]^{2}[/math] [math]\backslash[/math] : (x[math]^{2}[/math] [math]\ne 0[/math] ; z[math]^{2}[/math]=0)
При z[math]^{2}[/math] = 0; x[math]^{2}[/math]0[math]''[/math]=0[math]''[/math][math]^{2}[/math]
y=C - дополнительное решение (1)
При x[math]^{2}[/math]=0 равенство не выполняется
[math]\frac{ 1 }{ z }[/math]=[math]\frac{ 1 }{ x }[/math]+C[math]_{1}[/math]
[math]\boldsymbol{z}[/math] =[math]\frac{ 1 }{ 1+C_{1}x }[/math]

y=[math]\frac{ x }{ C_{1} }[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ \ln{|1+C_{1}x |} }{ C_{1}^{2} }[/math]

C[math]_{1}[/math]x [math]-[/math] C[math]_{1}[/math][math]^{2}[/math]y=[math]\ln{|C_{1}x+1| }[/math]+C[math]_{2}[/math] (1)
Ответ: (1); (2), но в ответе задачника включено еще дополнительное решение 2y=x[math]^{2}[/math]+C откуда оно получается?

Автор:  michel [ 19 янв 2020, 10:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объясните получение дополнительного решения

Дополнительное решение можно объяснить так. Перепишем уравнение как [math]y''=\left( \frac{ y' }{ x } \right)^2[/math], проверяем случай, когда обе части тождественно равны какой-то константе [math]y''=\left( \frac{ y' }{ x } \right)^2=A[/math], получаем [math]y=\frac{Ax^2 }{ 2 }+C_1 x+C_2[/math] (слева) и [math]y=\frac{ \sqrt{A} x^2}{ 2 }+C_3[/math] (справа), откуда видно, что для случая [math]A=1, \; C_1=0, \; C_2=C_3=C[/math] действительно возникает особое решение [math]y=\frac{ x^2 }{2 }+C[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/