Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 19 авг 2019, 20:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 май 2018, 21:06
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано дифференциальное уравнение:
[math]y''y^{3}=1[/math]
Поскольку оно не содержит явно переменную [math]x[/math], то сделал соответствующую замену: [math]y'=p, y''=p*p'[/math]. После пары вычислений пришел к уравнению вида [math]p^{2}=C_{1}-\frac{ 1 }{ y^2 }[/math], или [math](py)^2=C_{1}y^2-1[/math]. А как поступать дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 19 авг 2019, 21:06 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y' = \frac{dy}{dx} = p => y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}[/math]

Подставляем в основное уравнение:

[math]p \frac{dp}{dy}*y^3 = 1 => p dp = \frac{dy}{y^3} => p^2 = C_1 - \frac{1}{y^2}[/math]

Далее 2 решения для [math]p[/math]. Я распишу одно из них, с другим думаю сами справитесь.

[math]p = \frac{dy}{dx} = \sqrt{C_1 - \frac{1}{y^2}} = > \frac{dy}{\sqrt{C_1 - \frac{1}{y^2}}} = dx[/math]

[math]\int \frac{dy}{\sqrt{C_1 - \frac{1}{y^2}}} =\int \frac{y dy}{\sqrt{C_1y^2 - 1}}[/math]

Дальше сумеете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 19 авг 2019, 21:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5548
Cпасибо сказано: 59
Спасибо получено:
853 раз в 813 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На ум пришёл такой нетрадиционный метод. Пусть у нас есть материальная точка, которая притягивает с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния до неё. С какой скоростью будет падать на неё вторая точка? Интегрированием силы тяготения мы найдём её потенциал. Осталось воспользоваться законом сохранения энергии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 20 авг 2019, 14:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 май 2018, 21:06
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zhenek писал(а):

Далее 2 решения для p. Я распишу одно из них, с другим думаю сами справитесь.

Дальше сумеете?

Да, спасибо. Я правда сразу два решения в одно объединил и получилось [math]C_{1}y^2-1=(C_{1}x+C_{2})^2[/math]
Не могли бы подсказать как быть еще с таким примером:
[math]y''=y'lny', y(0)=0, y'(0)=1[/math]? Дошел до [math]p'=lnp[/math], или [math]dy=\frac{ dp}{ lnp }[/math]. Вроде бы нигде не ошибся, но как решать интеграл с логарифмом, он же неберущийся?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 20 авг 2019, 15:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3768
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1274 раз в 1183 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь сразу можно было перейти к новой переменной [math]z=z(x)[/math], зависящей от [math]x[/math]: [math]z=y'[/math] и решать более простое уравнение [math]z'=zlnz[/math]. В результате выходит очень простой ответ: [math]y=x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальное исчисление

layla

1

184

11 окт 2015, 10:13

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Maik

3

175

02 ноя 2017, 21:47

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Evgeny19_22

20

588

17 май 2014, 09:55

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lizasimpson

5

301

02 дек 2013, 17:10

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ful317

1

145

18 май 2014, 15:39

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

mashenka

1

171

24 май 2014, 18:56

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

drago123

4

151

11 окт 2017, 00:47

дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

florian

6

347

07 май 2011, 14:50

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Lyuda

5

307

18 сен 2016, 00:09

Дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

studenenter

7

244

10 май 2015, 16:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved