Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
351w |
|
|
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением. Есть дифференциальные уравнения и ответы к ним. Решаю эти уравнения - ответы не сходятся (хотя общее что-то проскальзывает). Вот например: 1) Найти общий интеграл, не показывая особых решений: [math]\sqrt{4+y^{2}}dx-ydy = x^{2}ydy[/math] Ответ: [math]C= y^{2}-2ln(4+e^{x})[/math] 2. Найти общий интеграл, не показывая особых решений: [math]\left( \sqrt{xy}-x \right) dy = -ydx[/math] Ответ: [math]C= \frac{ y }{ x^{2}-y^{2} }[/math] 3. Найти общее решение: [math]x^{2}y'+xy+1 =0[/math] Ответ: [math]y^{2}+Cy-x = 0[/math] 7. Линейное неоднородное уравнение: [math]y'''-4y'= e^{2x}[/math] Ответ: [math]y=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}+\frac{ 1 }{ 2 }e^{x}+\frac{ 1 }{ 6 }x[/math] Помогите разобраться, "в чем тут подвох" ???!!! |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
Мои ответы:
1. [math]\sqrt{4+y^{2} } = \operatorname{arctg}x+C[/math] 2. [math]\ln{y}+2 \cdot\sqrt{\frac{ x }{ y } } = C[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
AGN |
|
|
1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное:
[math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math] Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный. 2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП. [math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math] [math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math] Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math] 3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math] 4. Также стандартное. Больше верьте себе, чем ответам в учебниках. |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
AGN писал(а): 1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное: [math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math] Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный. 2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП. [math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math] [math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math] Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math] 3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math] 4. Также стандартное. Больше верьте себе, чем ответам в учебниках. Спасибо. Вообщем то так и делал. Но вот что очень смущает: Восемь заданий и ответы не совпадают. Все восемь ответов не совпадают. Некоторые ответы подставлял в исходное уравнение - не получается истинное равенство. |
||
Вернуться к началу | ||
AGN |
|
|
Значит - ответы ошибочные. Бывает.
|
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
AGN писал(а): 1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное: [math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math] Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный. 2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП. [math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math] [math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math] Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math] 3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math] 4. Также стандартное. Больше верьте себе, чем ответам в учебниках. Уточнить хотел: А не нужно ли для второго уравнения к ответу добавить ещё решение [math]x=0[/math] ?! При выкладках мы его /решение/ (если я не ошибаюсь) теряем. Или может второе уравнение преобразовать и решать следующее: [math]yx'=x-\sqrt{xy}[/math] И тогда ответ (решение) имеет вид: [math]x(y)= \frac{ \left( C-ln\left| x \right| \right)^{2} \cdot y }{ 4 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
351w |
|
|
Выше ошибся в записи ответа. Но система уже исправить не дает.
Поэтому здесь: [math]x(y)= \frac{ \left( C-\ln{\left| y \right| } \right)^{2} \cdot y }{ 4 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дифференциальные уравнения | 1 |
241 |
09 янв 2017, 13:55 |
|
Дифференциальные уравнения | 1 |
176 |
17 сен 2019, 18:17 |
|
Дифференциальные уравнения | 2 |
428 |
26 сен 2014, 19:51 |
|
Дифференциальные уравнения | 2 |
357 |
13 мар 2015, 20:49 |
|
Дифференциальные уравнения | 3 |
252 |
02 май 2017, 15:57 |
|
Дифференциальные уравнения | 3 |
359 |
11 май 2017, 19:49 |
|
Дифференциальные уравнения | 1 |
388 |
18 дек 2014, 10:31 |
|
Дифференциальные уравнения | 1 |
172 |
04 июн 2015, 09:47 |
|
Дифференциальные уравнения | 1 |
364 |
04 дек 2014, 22:02 |
|
Дифференциальные уравнения | 3 |
549 |
10 июн 2015, 00:13 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |