Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 04:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением.
Есть дифференциальные уравнения и ответы к ним.
Решаю эти уравнения - ответы не сходятся (хотя общее что-то проскальзывает).

Вот например:

1) Найти общий интеграл, не показывая особых решений:
[math]\sqrt{4+y^{2}}dx-ydy = x^{2}ydy[/math]
Ответ: [math]C= y^{2}-2ln(4+e^{x})[/math]

2. Найти общий интеграл, не показывая особых решений:
[math]\left( \sqrt{xy}-x \right) dy = -ydx[/math]
Ответ: [math]C= \frac{ y }{ x^{2}-y^{2} }[/math]

3. Найти общее решение:
[math]x^{2}y'+xy+1 =0[/math]
Ответ: [math]y^{2}+Cy-x = 0[/math]

7. Линейное неоднородное уравнение:
[math]y'''-4y'= e^{2x}[/math]
Ответ: [math]y=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}+\frac{ 1 }{ 2 }e^{x}+\frac{ 1 }{ 6 }x[/math]

Помогите разобраться, "в чем тут подвох" ???!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 07:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мои ответы:

1. [math]\sqrt{4+y^{2} } = \operatorname{arctg}x+C[/math]

2. [math]\ln{y}+2 \cdot\sqrt{\frac{ x }{ y } } = C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 12:51 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное:

[math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math]

Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный.

2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП.

[math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math]

[math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math]

Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math]

3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math]

4. Также стандартное.

Больше верьте себе, чем ответам в учебниках.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 12:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное:

[math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math]

Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный.

2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП.

[math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math]

[math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math]

Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math]

3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math]

4. Также стандартное.

Больше верьте себе, чем ответам в учебниках.


Спасибо. Вообщем то так и делал.
Но вот что очень смущает: Восемь заданий и ответы не совпадают. Все восемь ответов не совпадают.
Некоторые ответы подставлял в исходное уравнение - не получается истинное равенство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 14:26 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Значит - ответы ошибочные. Бывает.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 13 апр 2019, 03:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
1. Уравнение с РП (разделяющимися переменными). Решение стандартное:

[math]\sqrt{4 + y^{2} }dx - ydy = x^{2}ydy \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} }dx = y\left( x^{2} + 1 \right)dy \Rightarrow \int \frac{ ydy }{ \sqrt{4 + y^{2} } } = \int \frac{ dx }{ x^{2} + 1 } \Rightarrow \sqrt{4 + y^{2} } = \operatorname{arctg}x + C[/math]

Ваш ответ верный. Книжный получен, вероятно, каким-то другим способом. Или же неверный.

2. Уравнение однородное. Заменой [math]y = ux, y' = u'x + u[/math] сводится к РП.

[math]\left( \sqrt{xy} - x \right) dy = - ydx \Rightarrow y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ - y }{ \sqrt{xy} - x } = \frac{ y }{ x - \sqrt{xy} } \Rightarrow u'x + u = \frac{ ux }{ x - \sqrt{xux} } = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow u'x = \frac{ u }{ 1 - \sqrt{u} } - u = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} } \Rightarrow \frac{d u}{d x}x = \frac{ u\sqrt{u} }{ 1 - \sqrt{u} }[/math]

[math]\int \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u\sqrt{u} }du = \int \frac{ dx }{ x } \Rightarrow - \frac{ 2 }{ \sqrt{u} } - \ln{u} = \ln{x} + C[/math]

Осталось выполнить обратную замену [math]u = \frac{ y }{ x }[/math]

3. Линейное. Замена [math]y = uv[/math]

4. Также стандартное.

Больше верьте себе, чем ответам в учебниках.



Уточнить хотел: А не нужно ли для второго уравнения к ответу добавить ещё решение [math]x=0[/math] ?! При выкладках мы его /решение/ (если я не ошибаюсь) теряем.
Или может второе уравнение преобразовать и решать следующее:
[math]yx'=x-\sqrt{xy}[/math]
И тогда ответ (решение) имеет вид: [math]x(y)= \frac{ \left( C-ln\left| x \right| \right)^{2} \cdot y }{ 4 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 13 апр 2019, 04:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2017, 10:39
Сообщений: 1005
Cпасибо сказано: 279
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выше ошибся в записи ответа. Но система уже исправить не дает.
Поэтому здесь:
[math]x(y)= \frac{ \left( C-\ln{\left| y \right| } \right)^{2} \cdot y }{ 4 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Dean

1

241

09 янв 2017, 13:55

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Akimova_1502

1

176

17 сен 2019, 18:17

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

madam9707

2

428

26 сен 2014, 19:51

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Lil1987

2

357

13 мар 2015, 20:49

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ExtreMaLLlka

3

252

02 май 2017, 15:57

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Max387

3

359

11 май 2017, 19:49

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Garik1995

1

388

18 дек 2014, 10:31

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

sunny

1

172

04 июн 2015, 09:47

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

atereshhuk

1

364

04 дек 2014, 22:02

Дифференциальные уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ekaterina5

3

549

10 июн 2015, 00:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved