Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Mazytta56 |
|
|
[math]y'=x+2z[/math] [math]z'=x+y+z[/math] Подскажите, каким способом можно его решить, какой более удобный? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Mazytta56
Я думаю, что можно воспользоваться видоизменённым методом Эйлера, то есть с применением матриц, если не получится решить методом исключения. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Складываем первые два уравнения: [math](x+y)'=(x+y)+4z[/math], из третьего уравнения имеем [math]x+y=z'-z[/math], ещё третье уравнение продифференцируем [math]z''=(x+y)'+z'=(x+y)+4z+z'=(z'-z)+4z+z'=2z'+3z[/math].
Получилось уравнение второго порядка для [math]z[/math]: [math]z''-2z'-3z=0[/math], которое элементарно решается [math]z=C_1e^{-t}+C_2e^{3t}[/math]. Дальше подставляем в третье уравнение, находим сумму [math]x+y=-2(C_1e^{-t}-C_2e^{3t})[/math]. Чтобы получить разность [math]x-y[/math] берем разность первых двух уравнений [math](x-y)'+(x-y)=0[/math], которое даст соотношение для [math]x-y[/math] с третьей константой [math]C_3[/math]: [math]x-y=C_3e^{-t}[/math]. Осталось из выражений для [math]x+y[/math] и [math]x-y[/math] выразить сами функции [math]x(t),y(t)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: sergebsl |
||
Mazytta56 |
|
|
я решил пойти методом Эйлера и столкнулся вот с чем. Построив матрицу, я получил вот такое уравнение [math]-k^{3}+k^{2}+5k+3=0[/math], и оно решается 2мя способами, который из них верный? Так как это влияет на окончательный ответ.
Способ 1. Методом подбора подошел первый корень [math]k_1=-1[/math],так как если его подставить в уравнение получится 0 Решаем [math]-k^{3}+k^{2}+5k+3|k+1=-k^{2}+2k+3[/math] [math](k+1)(-k^{2}+2k+3)[/math] Корни: [math]k_1=-1,k_2=-1,k_3=3[/math] Способ 2. Тем же подбором подходит корень [math]k_1=3[/math], тоже подставив его, получим 0 [math]-k^{3}+k^{2}+5k+3|k-3=-k^{2}-2k-1[/math] [math](k-3)(-k^{2}-2k-1)[/math] Корни: [math]k_1=1,k_2=3[/math] Предчувствие, что второй способ верный, но почему у них разное количество корней и сами корни разные, кроме к=3. Оба способа решаются. Или где-то допустил ошибку? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Mazytta56
Полученный Вами многочлен раскладывается на множители так: [math]-k^3+k^2+5k+3=-(k-3)(k+1)^2.[/math] Таким образом, [math]k_{1,~2}=-1,~k_3=3.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Mazytta56 |
|
|
Andy
Получив эти корни, вот мое решение: для [math]k_1,k_2=-1[/math] [math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]*[math]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=0[/math] положим a=1, тогда b=-1 и c=0, получили собственный вектор [math]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/math] теперь для [math]k_3=3[/math] [math]\begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/math]*[math]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=0[/math] здесь нормальный вектор получился [math]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/math] Общее решение: [math]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/math]=[math](C_1+C_2t)*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}*e^{-t}+C_3*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*e^{3t}[/math] Есть возможность проверить ответ? Забивал в онлайн калькулятор, там ответ совсем другой |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Mazytta56
Корень [math]k=k_{1,~2}=-1[/math] имеет кратность, равную двум. Посмотрите в учебнике, как в этом случае вычисляют соответствующее решение системы. |
||
Вернуться к началу | ||
Mazytta56 |
|
|
Andy
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Mazytta56
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: pacha |
||
Mazytta56 |
|
|
Andy
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Система Дифференциальных уравнений | 5 |
187 |
04 май 2020, 18:17 |
|
Система дифференциальных уравнений | 1 |
306 |
14 фев 2015, 14:10 |
|
Система дифференциальных уравнений | 1 |
197 |
05 мар 2018, 22:45 |
|
Система дифференциальных уравнений
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
359 |
17 дек 2016, 15:31 |
|
Система дифференциальных уравнений | 1 |
155 |
29 апр 2020, 11:35 |
|
Система дифференциальных уравнений | 7 |
341 |
20 апр 2020, 16:24 |
|
Система дифференциальных уравнений | 6 |
321 |
10 янв 2022, 14:54 |
|
Система дифференциальных уравнений
в форуме Численные методы |
0 |
394 |
27 апр 2014, 19:48 |
|
Система дифференциальных уравнений | 0 |
220 |
27 ноя 2016, 17:09 |
|
Система дифференциальных уравнений | 1 |
206 |
28 ноя 2016, 15:42 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: lena01 и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |