Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 13 авг 2018, 03:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 авг 2018, 02:02
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x'=y+2z[/math]
[math]y'=x+2z[/math]
[math]z'=x+y+z[/math]

Подскажите, каким способом можно его решить, какой более удобный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 13 авг 2018, 07:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20152
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1607
Спасибо получено:
4278 раз в 3989 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mazytta56
Я думаю, что можно воспользоваться видоизменённым методом Эйлера, то есть с применением матриц, если не получится решить методом исключения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 13 авг 2018, 09:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5080
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
1787 раз в 1660 сообщениях
Очков репутации: 250

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Складываем первые два уравнения: [math](x+y)'=(x+y)+4z[/math], из третьего уравнения имеем [math]x+y=z'-z[/math], ещё третье уравнение продифференцируем [math]z''=(x+y)'+z'=(x+y)+4z+z'=(z'-z)+4z+z'=2z'+3z[/math].
Получилось уравнение второго порядка для [math]z[/math]: [math]z''-2z'-3z=0[/math], которое элементарно решается [math]z=C_1e^{-t}+C_2e^{3t}[/math].
Дальше подставляем в третье уравнение, находим сумму [math]x+y=-2(C_1e^{-t}-C_2e^{3t})[/math].
Чтобы получить разность [math]x-y[/math] берем разность первых двух уравнений [math](x-y)'+(x-y)=0[/math], которое даст соотношение для [math]x-y[/math] с третьей константой [math]C_3[/math]: [math]x-y=C_3e^{-t}[/math].
Осталось из выражений для [math]x+y[/math] и [math]x-y[/math] выразить сами функции [math]x(t),y(t)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 14 авг 2018, 01:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 авг 2018, 02:02
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
я решил пойти методом Эйлера и столкнулся вот с чем. Построив матрицу, я получил вот такое уравнение [math]-k^{3}+k^{2}+5k+3=0[/math], и оно решается 2мя способами, который из них верный? Так как это влияет на окончательный ответ.
Способ 1.
Методом подбора подошел первый корень [math]k_1=-1[/math],так как если его подставить в уравнение получится 0
Решаем
[math]-k^{3}+k^{2}+5k+3|k+1=-k^{2}+2k+3[/math]
[math](k+1)(-k^{2}+2k+3)[/math]
Корни: [math]k_1=-1,k_2=-1,k_3=3[/math]
Способ 2.
Тем же подбором подходит корень [math]k_1=3[/math], тоже подставив его, получим 0
[math]-k^{3}+k^{2}+5k+3|k-3=-k^{2}-2k-1[/math]
[math](k-3)(-k^{2}-2k-1)[/math]
Корни: [math]k_1=1,k_2=3[/math]

Предчувствие, что второй способ верный, но почему у них разное количество корней и сами корни разные, кроме к=3.
Оба способа решаются. Или где-то допустил ошибку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 14 авг 2018, 06:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20152
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1607
Спасибо получено:
4278 раз в 3989 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mazytta56
Полученный Вами многочлен раскладывается на множители так: [math]-k^3+k^2+5k+3=-(k-3)(k+1)^2.[/math] Таким образом, [math]k_{1,~2}=-1,~k_3=3.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 14 авг 2018, 12:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 авг 2018, 02:02
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Получив эти корни, вот мое решение:
для [math]k_1,k_2=-1[/math]
[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]*[math]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=0[/math]
положим a=1, тогда b=-1 и c=0, получили собственный вектор [math]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/math]

теперь для [math]k_3=3[/math]
[math]\begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/math]*[math]\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=0[/math]
здесь нормальный вектор получился [math]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Общее решение:
[math]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/math]=[math](C_1+C_2t)*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}*e^{-t}+C_3*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*e^{3t}[/math]

Есть возможность проверить ответ?
Забивал в онлайн калькулятор, там ответ совсем другой
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 14 авг 2018, 13:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20152
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1607
Спасибо получено:
4278 раз в 3989 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mazytta56
Корень [math]k=k_{1,~2}=-1[/math] имеет кратность, равную двум. Посмотрите в учебнике, как в этом случае вычисляют соответствующее решение системы.

Оказывается на одном из форумов тема, посвящённая этой системе уравнений, была открыта Вами ещё в начале мая, но до сих пор не завершена... :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 14 авг 2018, 22:23 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 авг 2018, 02:02
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Такое ощущение,что его нельзя решить. Либо никто не хочет подсказать. Я не могу его решить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 15 авг 2018, 00:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20152
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1607
Спасибо получено:
4278 раз в 3989 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mazytta56
А зачем Вам решать эту систему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
pacha
 Заголовок сообщения: Re: Система дифференциальных уравнений
СообщениеДобавлено: 15 авг 2018, 00:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 авг 2018, 02:02
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
это последний пример из контрольной

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

pewpimkin

4

291

30 янв 2012, 18:43

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Logannn

1

230

27 дек 2013, 15:39

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ponk_1

0

76

03 июн 2019, 15:51

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Merhaba

6

412

21 апр 2012, 08:44

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

admiral

0

175

08 дек 2015, 12:19

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AnastasiaGreen

0

201

15 дек 2013, 18:25

Система Дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bakmen

5

86

04 май 2020, 18:17

система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

radion1000

3

317

04 апр 2012, 08:35

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

MaKsIm204

1

352

16 дек 2013, 23:20

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ka9aje

1

53

29 апр 2020, 11:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved