Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 18:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 апр 2010, 18:33
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, каким способом решать это дифференциальное уравнение:

[math]xy'=\frac{3y^3+2yx^2}{2y^2+x^2}[/math]

А то я могу решить уравнение, если указано какой способ применить :) а тут не указано, я и не знаю, как начать, чтобы правильно было.

Решила с помощью замены y=xu, но оказалось неверно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 19:45 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно Вы решили. Это однородное уравнение. Если нигде не ошибся, то так.

Вложения:
Комментарий к файлу: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
pewpimkin40.jpg
pewpimkin40.jpg [ 42.83 Кб | Просмотров: 64 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mirrina
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 19:58 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mirrina писал(а):
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, каким способом решать это дифференциальное уравнение:

[math]xy'=\frac{3y^3+2yx^2}{2y^2+x^2}[/math]

А то я могу решить уравнение, если указано какой способ применить :) а тут не указано, я и не знаю, как начать, чтобы правильно было.

Решила с помощью замены y=xu, но оказалось неверно...

Да, надо сделать эту замену y=xu. Вы, наверное, запутались с решением уже после замены, поэтому и получилось неверно.

[math]xy'=\frac{3y^3+2yx^2}{2y^2+x^2}\Rightarrow{y'}=\frac{3\!\left(\dfrac{y}{x}\right)^3+\dfrac{y}{x}}{2\!\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+1}\Rightarrow[/math] [math]\left\{\begin{gathered}y=xu,\hfill\\y'=u+xu'\hfill\\\end{gathered}\right\}\Rightarrow{u+xu'}=\frac{3u^3+2u}{2u^2+1}\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow{xu'}=\frac{u^3+u}{2u^2+1}\Rightarrow\frac{2u^2+1}{u^3+u}\,u'=\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{2u^2+1}{u^3+u}\,du=\frac{dx}{x}\Rightarrow[/math] [math]\int\frac{2u^2+1}{u^3+u}\,du=\int\frac{dx}{x}\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow\int\frac{4u^3+2u}{u^4+u^2}\,du=2\ln|x|+2C\Rightarrow\ln|u^4+u^2|=[/math] [math]\ln|C_1x^2|\Rightarrow{u^4}+u^2=C_1x^2\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow\left(\frac{y}{x}\right)^4+\left(\frac{y}{x}\right)^2=C_1x^2\Rightarrow\boxed{y^4+x^2y^2-C_1x^6=0}[/math]


Всё понятно? Есть вопросы по решению?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mirrina
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 20:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 апр 2010, 18:33
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!
До интеграла я так и решала, а потом у меня по-другому... наверное, запуталась и правда... как у вас из огромного интеграла получился ln (u^4+u^2)? а числитель интеграла как же?..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 20:45 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mirrina, мы же умножили и поделили числитель и знаменатель на u, также оба интеграла умножили на два, в результате в левом интеграле в числители получили производную знаменателя.

Это понятно??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mirrina
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 20:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 апр 2010, 18:33
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, да!
Спасибо!!! :)))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 20:59 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, я извиняюсь - сразу не заметил Вашего решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mirrina
 Заголовок сообщения: Re: Общее решение дифф. уравнения со степенями и дробью
СообщениеДобавлено: 28 апр 2010, 21:01 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну что Вы, по-моему, ничего страшного в этом нет, тем более Ваше решение лучше

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mirrina
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Общее решение систем дифф уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Napster31

4

617

28 май 2014, 14:38

Найти общее решение линейного неоднородного дифф

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

a16a

3

483

04 май 2014, 18:56

Решение дифф.уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

PavelFedorov

2

196

18 янв 2022, 15:15

Найти частное решение дифф. уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

kozlov98

1

295

04 дек 2015, 20:40

Найти частное решение дифф. уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ramzesqqq

1

237

22 апр 2018, 12:25

Где можно подробно почитать о решение дифф. уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

DenStarc

2

200

30 авг 2023, 01:59

Найти частное решение линейного однородного дифф уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

baton

7

432

12 янв 2021, 15:09

Частное решение дифференциального уравнения\общее решение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Swissboy

5

762

06 май 2014, 19:13

Общее решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Darbat

8

826

21 янв 2017, 22:15

Общее решение неоднородного уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Lora67

0

334

12 июн 2014, 15:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved