Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифф. уравнение третьего порядка
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 17:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2018, 13:07
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Столкнулся с проблемой во время решения такого уравнения:

[math]y'''[/math] [math]+[/math] [math]\boldsymbol{k}[/math] *[math]\sin{ \boldsymbol{y} }[/math] [math]=[/math] 0

Как я решал:
Для понижения степени уравнения провел замену:
[math]y''[/math] [math]= \boldsymbol{p}[/math]
[math]\boldsymbol{p}[/math]* [math]\frac{d p}{d y}[/math] [math]= \boldsymbol{k} * \boldsymbol{y}[/math] , интегрируя получается:
[math]p^{2}[/math] [math]=[/math] 2* [math]\boldsymbol{k}[/math] *[math]\cos{ \boldsymbol{y} }[/math] [math]+[/math] [math]\boldsymbol{C}[/math]
За начальные условия примем y(0)=60 [math]y'[/math](0)=0 [math]y''[/math](0)=0, тогда [math]\boldsymbol{C} =[/math] -2* [math]\boldsymbol{k}[/math] *[math]\cos{60}[/math] [math]=[/math] [math]- \boldsymbol{k}[/math]

Проводим обратную замену:
[math]y''[/math] [math]= \boldsymbol{p}[/math]
[math]y''[/math] [math]= \sqrt{2* \boldsymbol{k} *\cos{ \boldsymbol{y} }- \boldsymbol{k} }[/math]

Снова проводим замену для понижения степени:
[math]\boldsymbol{p}[/math] [math]= \boldsymbol{y} '[/math]:

[math]\boldsymbol{p} \frac{d \boldsymbol{p} }{d \boldsymbol{y} }[/math] [math]=[/math] [math]\sqrt{2* \boldsymbol{k} *\cos{ \boldsymbol{y} }- \boldsymbol{k} }[/math]
Интегрируем:
[math]\frac{ \boldsymbol{p} ^{2} }{ 2 }[/math] [math]=[/math] [math]\int[/math] [math]\sqrt{2* \boldsymbol{k} *\cos{ \boldsymbol{y} }- \boldsymbol{k} }[/math] [math]\boldsymbol{d}[/math] [math]\boldsymbol{y}[/math]

Решаем правую часть:
Вынесем [math]\boldsymbol{k}[/math]:
[math]\sqrt{ \boldsymbol{k} }[/math]*[math]\int \sqrt{(2*\cos{ \boldsymbol{y} - 1}) }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{y}[/math]
Используем метод подстановки:
[math]\boldsymbol{u} =[/math] 2*[math]\cos{ \boldsymbol{y} }[/math] [math]-[/math] 1
[math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{u} =[/math] [math]-[/math] 2[math]\sin{ \boldsymbol{y} }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{y}[/math] , тогда:
[math]-[/math] 2[math]\sin{ \boldsymbol{y} }[/math]*[math]\sqrt{ \boldsymbol{k} }[/math]*[math]\int \sqrt{ \boldsymbol{u} }[/math] [math]\boldsymbol{d} \boldsymbol{u}[/math] = [math]- \frac{ \boldsymbol{k} *\sqrt{ \boldsymbol{u} ^{3} } }{ 3*\sin{ \boldsymbol{y} } }[/math] [math]+[/math] [math]\boldsymbol{C}[/math]

Собственно говоря на этом этапе я остановился. Поскольку после проведения обратных заменых вырастает довольно большое уравнение, которые также еще раз надо будет интегрировать.
Так, что возник у меня вопрос, а верно ли я все делал?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифф. уравнение третьего порядка
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 19:51 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Больше похоже на уравнение с разделяющимися переменными, отсюда, вроде, и в замене нет особого смысла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифф. уравнение третьего порядка
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 21:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
taburetka
В том посте где столкнулись http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=45&t=59535 я высказал мнение, что там всё же вторая производная, а не третья. Там же я дал ссылку на статью в Википедии про математический маятник.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифф. уравнение третьего порядка
СообщениеДобавлено: 02 май 2018, 11:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2018, 13:07
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
taburetka
В том посте где столкнулись http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=45&t=59535 я высказал мнение, что там всё же вторая производная, а не третья. Там же я дал ссылку на статью в Википедии про математический маятник.

Ага, спасибо.

Меня здесь скорее интересует методика решения такого уравнения. Поскольку составить для него параметрическое уравнение у меня не получается. Возможно это решается при помощи численных методов или элиптических уравнения, но это какая-то совсем зубодробительная математика.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диф. уравнение третьего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ElenaNV

3

409

28 май 2014, 18:45

Уравнение третьего порядка

в форуме Алгебра

youi

2

289

20 мар 2018, 18:11

Уравнение третьего порядка

в форуме Алгебра

Goblin-engineer

2

488

16 июл 2016, 22:07

Дифференциальное уравнение третьего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

apple222

10

533

06 апр 2014, 17:13

Дифференциальное уравнение третьего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

evaf

6

197

12 апр 2020, 17:07

Дифференциальное уравнение третьего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

wr00m

5

323

09 июн 2017, 14:29

Доказательств третьего закона Кеплера через дифф. Ур

в форуме Механика

Kachmak3

2

298

14 окт 2018, 14:00

Дифф уравнение 2-го порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

7

348

14 дек 2017, 23:43

Дифф уравнение 2-го порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

5

451

23 май 2018, 12:22

Дифф. уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

kiberchainik

2

301

13 май 2016, 22:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved