Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Class |
|
|
Мне нужно исследовать систему, при каких значениях параметра a нулевое решение является асимптотически устойчиво, а при каких устойчиво. [math]\left\{\begin{matrix}\dot{x}=ax+y & \\ \dot{y}=ay-2ax-x & \end{matrix}\right.[/math] я применяю теорему первом приближении: [math]J=\begin{pmatrix}a &1\\ -2a-1 & a\end{pmatrix}[/math] и вычисляю характеристический многочлен: [math]J=\begin{vmatrix}a-\lambda &1 \\ -2a-1 & a-\lambda \end{vmatrix}=\lambda_{1}=a+\sqrt{-2a-1}, \lambda _{2}=a-\sqrt{-2a-1}[/math] В ответе написано: a [math]<[/math] -1,-1 [math]<[/math] a [math]<[/math] 0-асимптотическая устойчивость a [math]<[/math] -1,-1 [math]\leqslant[/math] a [math]\leqslant[/math] -[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]-узел -[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]< a < 0[/math],a [math]> 0[/math] - фокус из каких неравенств это получилось?, не могу понять |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Class писал(а): из каких неравенств это получилось?, не могу понять Приведите пожалуйста формулировку теоремы, которую вы применяете. |
||
Вернуться к началу | ||
Class |
|
|
Теорема. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя, асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Class
Не подумайте, что придираюсь. Но вас очень сложно читать. 1) Class писал(а): я применяю теорему первом приближении: Теорема о первом приближении это совсем не та теорема, что вы привели в предыдущем сообщении. Она относится к нелинейным системам. У вас же линейная система. Поэтому и возник мой вопрос о теореме. 2) Class писал(а): и вычисляю характеристический многочлен: И где ваш многочлен? Это для тех, кто захочет повторить ваши вычисления. 3) У вас [math]J[/math] сначала матрица, затем определитель, затем корень характеристического многочлена. Пробуйте читать, что вы пишете. 4) Вы спрашивали насчёт устойчивости. В ответе привели насчёт узла и фокуса. Этот ответ на какой вопрос? Теперь, что касается ваших вопросов. Class писал(а): из каких неравенств это получилось?, не могу понять Сначала рассмотрим случай действительных корней [math]-2a-1 \geqslant 0[/math]. Тогда ваш больший корень [math]\lambda_1[/math] должен быть отрицательным (для асс. устойчивости). Затем рассматриваем случай чисто комплексных корней. Тогда действительная часть обоих корней (именно [math]a[/math]) должна быть отрицательна. Если непонятно, подробнее распишу попозже. Сейчас дефицит времени. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Class |
||
searcher |
|
|
Чуть поподробнее. (Условие асимптотической устойчивости).
searcher писал(а): Сначала рассмотрим случай действительных корней [math]-2a-1 \geqslant 0[/math]. Тогда ваш больший корень [math]\lambda_1[/math] должен быть отрицательным (для асс. устойчивости). То есть должно выполняться [math]a+\sqrt{-2a-1}<0[/math], что равносильно [math](a+1)^2>0[/math]. Это выполняется при [math]a \leqslant -\frac{1}{2}[/math], [math]a \ne -1[/math]. searcher писал(а): Затем рассматриваем случай чисто комплексных корней. Тогда действительная часть обоих корней (именно [math]a[/math]) должна быть отрицательна. То есть, [math]-\frac{1}{2}<a<0[/math]. Объединяя с предыдущим, получаем [math]a<0[/math] , [math]a\ne -1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Class |
||
searcher |
|
|
Можно добавить, что при [math]a=-1[/math] и при [math]a=0[/math] система будет устойчивой, но не асимптотически. Это следует, как из общей теоремы об устойчивости линейной системы. Также можно в этом убедиться просто решив систему для данных [math]a[/math]. При [math]a>0[/math] система будет неустойчивой.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Class |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Устойчивость системы ДУ по первому приближению | 0 |
194 |
13 янв 2021, 16:38 |
|
Исследовать устойчивость нулевого решения системы | 1 |
194 |
03 окт 2020, 13:25 |
|
Исследовать на устойчивость нулевое решение системы | 10 |
668 |
13 мар 2018, 20:59 |
|
Асимптотическая устойчивость | 6 |
310 |
21 май 2018, 14:13 |
|
Устойчивость велосипеда
в форуме Школьная физика |
10 |
648 |
23 май 2019, 21:20 |
|
Устойчивость по Ляпунову | 8 |
418 |
12 май 2019, 14:31 |
|
Устойчивость схемы | 1 |
421 |
20 дек 2015, 18:32 |
|
Устойчивость по виду траектории | 39 |
334 |
19 авг 2023, 10:09 |
|
Устойчивость равновесия плавания тел (1)
в форуме Механика |
1 |
66 |
29 ноя 2023, 19:39 |
|
Метод гармоник(Устойчивость) | 0 |
623 |
11 апр 2017, 11:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |