Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 12 мар 2018, 22:05 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 ноя 2016, 10:30
Сообщений: 166
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер!!! Помогите пожалуйста разобраться с заданием с параметром
Мне нужно исследовать систему, при каких значениях параметра a нулевое решение является асимптотически устойчиво, а при каких устойчиво.
[math]\left\{\begin{matrix}\dot{x}=ax+y & \\ \dot{y}=ay-2ax-x & \end{matrix}\right.[/math]
я применяю теорему первом приближении:
[math]J=\begin{pmatrix}a &1\\ -2a-1 & a\end{pmatrix}[/math] и вычисляю характеристический многочлен:
[math]J=\begin{vmatrix}a-\lambda &1 \\ -2a-1 & a-\lambda \end{vmatrix}=\lambda_{1}=a+\sqrt{-2a-1}, \lambda _{2}=a-\sqrt{-2a-1}[/math]
В ответе написано: a [math]<[/math] -1,-1 [math]<[/math] a [math]<[/math] 0-асимптотическая устойчивость
a [math]<[/math] -1,-1 [math]\leqslant[/math] a [math]\leqslant[/math] -[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]-узел
-[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]< a < 0[/math],a [math]> 0[/math] - фокус
из каких неравенств это получилось?, не могу понять

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 13 мар 2018, 11:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Class писал(а):
из каких неравенств это получилось?, не могу понять

Приведите пожалуйста формулировку теоремы, которую вы применяете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 13 мар 2018, 11:50 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 ноя 2016, 10:30
Сообщений: 166
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя, асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 13 мар 2018, 13:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Class
Не подумайте, что придираюсь. Но вас очень сложно читать.
1)
Class писал(а):
я применяю теорему первом приближении:

Теорема о первом приближении это совсем не та теорема, что вы привели в предыдущем сообщении. Она относится к нелинейным системам. У вас же линейная система. Поэтому и возник мой вопрос о теореме.
2)
Class писал(а):
и вычисляю характеристический многочлен:

И где ваш многочлен? Это для тех, кто захочет повторить ваши вычисления.
3) У вас [math]J[/math] сначала матрица, затем определитель, затем корень характеристического многочлена. Пробуйте читать, что вы пишете.
4) Вы спрашивали насчёт устойчивости. В ответе привели насчёт узла и фокуса. Этот ответ на какой вопрос?
Теперь, что касается ваших вопросов.
Class писал(а):
из каких неравенств это получилось?, не могу понять

Сначала рассмотрим случай действительных корней [math]-2a-1 \geqslant 0[/math]. Тогда ваш больший корень [math]\lambda_1[/math] должен быть отрицательным (для асс. устойчивости). Затем рассматриваем случай чисто комплексных корней. Тогда действительная часть обоих корней (именно [math]a[/math]) должна быть отрицательна.
Если непонятно, подробнее распишу попозже. Сейчас дефицит времени.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Class
 Заголовок сообщения: Re: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 13 мар 2018, 21:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чуть поподробнее. (Условие асимптотической устойчивости).
searcher писал(а):
Сначала рассмотрим случай действительных корней [math]-2a-1 \geqslant 0[/math]. Тогда ваш больший корень [math]\lambda_1[/math] должен быть отрицательным (для асс. устойчивости).

То есть должно выполняться [math]a+\sqrt{-2a-1}<0[/math], что равносильно [math](a+1)^2>0[/math]. Это выполняется при [math]a \leqslant -\frac{1}{2}[/math], [math]a \ne -1[/math].
searcher писал(а):
Затем рассматриваем случай чисто комплексных корней. Тогда действительная часть обоих корней (именно [math]a[/math]) должна быть отрицательна.

То есть, [math]-\frac{1}{2}<a<0[/math]. Объединяя с предыдущим, получаем [math]a<0[/math] , [math]a\ne -1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Class
 Заголовок сообщения: Re: Устойчивость системы
СообщениеДобавлено: 14 мар 2018, 14:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно добавить, что при [math]a=-1[/math] и при [math]a=0[/math] система будет устойчивой, но не асимптотически. Это следует, как из общей теоремы об устойчивости линейной системы. Также можно в этом убедиться просто решив систему для данных [math]a[/math]. При [math]a>0[/math] система будет неустойчивой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Class
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Устойчивость системы ДУ по первому приближению

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fsaar

0

194

13 янв 2021, 16:38

Исследовать устойчивость нулевого решения системы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Susanna Gaybaryan

1

194

03 окт 2020, 13:25

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Knyazhe

10

668

13 мар 2018, 20:59

Асимптотическая устойчивость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Qller

6

310

21 май 2018, 14:13

Устойчивость велосипеда

в форуме Школьная физика

searcher

10

648

23 май 2019, 21:20

Устойчивость по Ляпунову

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

dddsss

8

418

12 май 2019, 14:31

Устойчивость схемы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Fiztechofets

1

421

20 дек 2015, 18:32

Устойчивость по виду траектории

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

VitalikTitan

39

334

19 авг 2023, 10:09

Устойчивость равновесия плавания тел (1)

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

1

66

29 ноя 2023, 19:39

Метод гармоник(Устойчивость)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

zolla

0

623

11 апр 2017, 11:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved