Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: уравнение в частных производных
СообщениеДобавлено: 14 май 2011, 11:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 дек 2010, 18:30
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вообщем у меня есть следующее уравнение: [math]\frac{\partial f}{\partial t}=\nu\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2}-k^2 \right)f[/math] и граничные условия:
[math]f(y,0)=\frac{k T_0}{2 \nu(\alpha^2-k^2)}(e^{-ky}-e^{-\alpha y}), \ \ f(0,t)=0, \ \ f(\infty,t)=0[/math]
где [math]\alpha, k,T_0,\nu[/math] некоторые положительные числа не равные друг другу. В уравнений я сделал замену переменных [math]f(y,t)=e^{-\nu k^2 t}g(y,t)[/math] тогда уравнение приняло вид: [math]\frac{\partial g}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}[/math] решение я искал с помощью функции грина в виде:
[math]g(y,t)=\int_0^{\infty}G(y',t,y) f(y',0)dy'[/math]
где [math]G(y',t,y)=\frac{1}{2\sqrt\pi \nu t}(e^{-\frac{(y-y')^2}{4\nu t}}-e^{-\frac{(y+y')^2}{4\nu t}})[/math] - функция грина. В результате у меня получилось следующее решение [math]f(y,t)=\frac{k T_0}{2 \nu (\alpha^2-k^2)}(e^{-ky}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu k t-y}{\sqrt{4 \nu t}}\right))-e^{\nu(\alpha^2-k^2)t-\alpha y}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu \alpha t-y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)-
e^{k y}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu k t+y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)+e^{\nu(\alpha^2-k^2)t+\alpha y }\rm{erfc}\left(\frac{2\nu \alpha t+y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)[/math]
когда [math]\alpha<k[/math] это решение при [math]t\rightarrow\infty[/math] стремится к 0, но когда [math]\alpha>k[/math] то показатель экспоненты начинает расти и решение уже не стремиться к 0. От сюда мой вопрос как найти решение этого уравнения для которого бы выполнялись все граничные условия и оно стремилось к 0 при [math]t\rightarrow\infty[/math] для случая [math]\alpha>k[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: уравнение в частных производных
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 10:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы рассматриваете уравнение на полуоси ([math]y>0[/math])?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: уравнение в частных производных
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 11:04 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 дек 2010, 18:30
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bdfn90 писал(а):
вообщем у меня есть следующее уравнение: [math]\frac{\partial f}{\partial t}=\nu\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2}-k^2 \right)f[/math] и граничные условия:
[math]f(y,0)=\frac{k T_0}{2 \nu(\alpha^2-k^2)}(e^{-ky}-e^{-\alpha y}), \ \ f(0,t)=0, \ \ f(\infty,t)=0[/math]
где [math]\alpha, k,T_0,\nu[/math] некоторые положительные числа не равные друг другу. В уравнений я сделал замену переменных [math]f(y,t)=e^{-\nu k^2 t}g(y,t)[/math] тогда уравнение приняло вид: [math]\frac{\partial g}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}[/math] решение я искал с помощью функции грина в виде:
[math]g(y,t)=\int_0^{\infty}G(y',t,y) f(y',0)dy'[/math]
где [math]G(y',t,y)=\frac{1}{2\sqrt\pi \nu t}(e^{-\frac{(y-y')^2}{4\nu t}}-e^{-\frac{(y+y')^2}{4\nu t}})[/math] - функция грина. В результате у меня получилось следующее решение [math]f(y,t)=\frac{k T_0}{2 \nu (\alpha^2-k^2)}(e^{-ky}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu k t-y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)-e^{\nu(\alpha^2-k^2)t-\alpha y}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu \alpha t-y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)-
e^{k y}\rm{erfc}\left(\frac{2\nu k t+y}{\sqrt{4 \nu t}}\right)+e^{\nu(\alpha^2-k^2)t+\alpha y }\rm{erfc}\left(\frac{2\nu \alpha t+y}{\sqrt{4 \nu t}}\right))[/math]
когда [math]\alpha<k[/math] это решение при [math]t\rightarrow\infty[/math] стремится к 0, но когда [math]\alpha>k[/math] то показатель экспоненты начинает расти и решение уже не стремиться к 0. От сюда мой вопрос как найти решение этого уравнения для которого бы выполнялись все граничные условия и оно стремилось к 0 при [math]t\rightarrow\infty[/math] для случая [math]\alpha>k[/math] ?

да [math]0\leq y<\infty[/math], но оказалось что все таки f(y,t) при [math]\alpha>k[/math] и достаточно больших t стремится к 0. Но мне на самом деле нужно было решить вот это уравнение
[math]\frac{\partial u(y,t)}{\partial y}+kf(y,t)+ku(y,t)=0[/math] с граничными условиями [math]u(y,o)=\frac{k^2 T_0}{\nu(\alpha^2-k^2)^2}(((\alpha-k)y-1)e^{-ky}+e^{-\alpha y}),u(\infty,t)=0,u(0,t)=0[/math], решение его у меня получилось следующее [math]u=-ke^{-ky}\int_0^ye^{ky}f(y,t)dy[/math] интегрируя у меня получилось выражение которое при [math]t\rightarrow\infty[/math] стремится к 0, но когда [math]\alpha>k[/math] решение уже не стремиться к 0. Но такого быть не может ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

MoskvinAlex

2

304

15 май 2013, 12:33

Дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Maik

8

337

30 окт 2017, 17:04

Дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Maik

1

142

01 окт 2017, 13:03

Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

MarshallBanana

3

325

09 май 2016, 14:13

Однородное дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Alexysha

2

206

27 дек 2016, 11:15

уравнение в частных производных первого порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lexus666

9

625

16 апр 2011, 14:15

Задача Коши уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fisher74

6

405

26 ноя 2014, 23:23

Очень решить уравнение частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

KARGAI

14

865

15 окт 2013, 18:51

Однородное Дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lenalena2

0

168

13 дек 2015, 16:19

Уравнение в частных производных с тремя переменными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bdfn90

1

296

21 апр 2011, 21:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved