Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=57598
Страница 1 из 1

Автор:  Class [ 28 дек 2017, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

Помогите пожалуйста доказать по определению, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво
Изображение
задача была у меня поставлено так: Выяснить, при каких значениях параметра a нулевое решение является
а) асимптотически устойчивым;
б) устойчивым, но не асимптотически;
в) неустойчивым.
я установил, что при:
1) a>0-неустойчиво;
2) a<0-асимптотически устойчиво;
3) a=0 - устойчиво, но не асимптотически устойчива, а доказать как? по определению?

Автор:  dr Watson [ 04 янв 2018, 03:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

Class писал(а):
3) a=0 - устойчиво, но не асимптотически устойчива, а доказать как? по определению?

Да. При асимптотической устойчивости возмущение стремится к нулю. Здесь общее решение при [math]a=0[/math] будет [math]x=x_0, y=y_0.[/math] При возмущении начальной точки [math](x_0, y_0)[/math] она так и остаётся в том же месте.

Автор:  Class [ 04 янв 2018, 13:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

А если записать в терминах епсилон-дельта, то это выглядит будет так: Правильно?
Изображение

Автор:  dr Watson [ 04 янв 2018, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

Первая строчка - это определение устойчивости. По заданному эпсилон надо найти нужную дельту. Ясно, что в качестве этой дельты можно взять просто эпсилон - смещение ведь остаётся неизменным.
Для асимпт. устойчивости нужно, чтобы смещение стремилось к нулю , а оно не стремится ибо остаётся неизменным.
Вот и всё.
Ваши вторую и третью строчки я не понимаю, какие-то неравенства, пределы, какие-то фи, константы и игреки.

Автор:  Class [ 04 янв 2018, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

dr Watson писал(а):
Ваши вторую и третью строчки я не понимаю, какие-то неравенства, пределы, какие-то фи, константы и игреки.

Я хотел проверить если предел не равен нулю, то асимптотической устойчивости не будет
Изображение
А как вы бы записали в терминах, я просто незнаю как записать

Автор:  dr Watson [ 05 янв 2018, 04:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

А что тут записывать - определение в первой строчке. Вот что написано, то и проверяем. Для каждого эпсилон ищем годную дельту. Для этого Вам в определение врубиться надо - пока этого у Вас не наблюдается.
Определение означает, что для любого круга радиуса эпсилон точка не выйдет за его пределы, если она находится в круге подходящего радиуса. Вот этот подходящий радиус (дельта) и надо найти. В данном случае очевидно годится [math]\delta=\varepsilon[/math], потому что точка (в случае [math]a=0[/math]) вообще не двигается, так что в каком круге она была, в том же и останется.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/