Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 16:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 16:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачку по дифурам. Ниже привожу условие задачи и свои размышления:

Дана неоднородная система линейных уравнений, здесь [math]\omega[/math]-вещественный параметр. Указать все значения параметра [math]\omega[/math], при которых система имеет:

а)решение, ограниченное при [math]t \geqslant 0[/math]
б)решение, пересекающее ось OX счетное количество раз?

[math]\frac{d x}{d t}[/math]=[math]y+\sin{ \omega t}[/math]

[math]\frac{d y}{d t}[/math]=[math]-x[/math]

Как я решаю:
1)Решаю систему однородных уравнений вида:

[math]\frac{d x}{d t}[/math]=[math]y[/math]

[math]\frac{d y}{d t}[/math]=[math]-x[/math]

Собственные числа тут это [math]\lambda = \pm i[/math]
Получаю такие решения:
[math]x=c_{2} \sin{t}+c_{1}\cos{t}[/math]
[math]y=c_{2}\cos{t}-c_{1}\sin{t}[/math]

2)Затем нахожу частное решение, рассматривая случаи:
1) [math]\omega^{2}=1[/math] (чтобы комплексное число правой части являлось корнем характеристического многочлена)
2)[math]\omega^{2} \ne 1[/math] (чтобы не являлось)
3)[math]\omega^{2}=0[/math]

Посмотрю для каких [math]\omega[/math] решение будет существовать, а вот что дальше делать понятия не имею.
Как отсюда выполнить пункты а) и б) ?
В пункте а) нужно чтобы решение было периодическим, так синус и косинус ограничены единицей?
В пункте б) я так понимаю необходимо чтобы решение было периодическим и ограниченным?
Буду рад любой помощи и подсказке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 17:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1387
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
272 раз в 265 сообщениях
Очков репутации: 99

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, Вам лучше решать дальше методом вариации.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 17:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 16:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Думаю, Вам лучше решать дальше методом вариации.

А зачем методом вариации? Методом неопределенных коэффициентов быстрее же.
Но это вторично уже, каким методом частное решение находить.
Вот что получил:
[math]\omega ^{2}=1[/math] :
[math]x=c_{2}*\sin{t}+c_{1}*\cos{t}+\frac{ 1 }{ 2 }(t*\sin{t}-\cos{t} )[/math]
[math]y=-c_{1}*\sin{t}+c_{2}*\cos{t}+\frac{ 1 }{ 2 }t*\cos{t}[/math]

[math]\omega ^{2}=0[/math] :
[math]x=c_{2}*\sin{t}+c_{1}*\cos{t}[/math]

[math]y=-c_{1}*\sin{t}+c_{2}*\cos{t}[/math]

[math]\omega ^{2} \ne 1[/math] :
[math]x=c_{2}*\sin{t}+c_{1}*\cos{t}+\frac{ \omega *\cos{ \omega t} }{ 1- \omega ^{2} }[/math]

[math]y=-c_{1}*\sin{t}+c_{2}*\cos{t}+\frac{ \sin{ \omega t} }{ \omega ^{2}-1 }[/math]

Не понимаю как отсюда выполнить пункты а и б
В первом случае периодичности нету, значит первый случай нам не подходит?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 17:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1387
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
272 раз в 265 сообщениях
Очков репутации: 99

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]\omega \ne \pm 1[/math], то решения ограничены, а) вроде выполняется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 18:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 16:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Если [math]\omega \ne \pm 1[/math], то решения ограничены, а) вроде выполняется.

Да.А есть идеи что сделать с пунктом б?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 18:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1387
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
272 раз в 265 сообщениях
Очков репутации: 99

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть, в б) [math]\omega =0[/math], то последние слагаемые обращаются в 0, вроде бы там должно быть счётное число пересечений у синуса с косинусом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 19:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 16:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Может быть, в б) [math]\omega =0[/math], то последние слагаемые обращаются в 0, вроде бы там должно быть счётное число пересечений у синуса с косинусом.

А как это доказать, что именно счетное количество?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 19:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 17:58
Сообщений: 1387
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
272 раз в 265 сообщениях
Очков репутации: 99

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение уравнений вида [math]tg x = a[/math] фиксируется целым числом [math]n[/math], а множество целых чисел является счётным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить неоднородную систему
СообщениеДобавлено: 27 дек 2017, 00:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При [math]\omega =0[/math] , решения ведь тоже ограничены? Так как из синусов и косинусов состоят?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить систему

в форуме Алгебра

lizasimpson

1

185

12 янв 2015, 19:40

Решить систему

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anya_mathematics

11

266

28 ноя 2016, 15:22

Решить систему

в форуме Теория чисел

Ferma

3

267

07 авг 2014, 11:17

Решить систему

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

promodj

1

85

19 ноя 2016, 16:07

Решить систему

в форуме Алгебра

quaka_9000

5

162

10 ноя 2016, 13:25

Решить систему

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

AlexGFX

1

306

12 июн 2013, 18:03

Решить систему

в форуме Численные методы

befree666

1

309

05 июн 2014, 21:38

Решить систему

в форуме Алгебра

Nas_tya+-

4

243

13 мар 2015, 19:43

Решить систему ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

simpo

19

700

17 мар 2013, 14:24

Решить систему 2

в форуме Алгебра

Nas_tya+-

1

153

13 мар 2015, 19:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved