Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=56555
Страница 1 из 1

Автор:  laralex [ 09 ноя 2017, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению

Необходимо найти любую функцию (необязательно общее решение), которая ортогональна в пространстве [math]L^{2}(-1;1)[/math] функциям [math]t[/math] и [math]t^{2}[/math], т.е.
[math]\int\limits_{-1}^{1}t x(t) dt = \int\limits_{-1}^{1}t^{2} x(t) dt = 0[/math]
Четность нечетность как-то не удалось использовать. Нулевое решение не катит

Автор:  Tantan [ 10 ноя 2017, 03:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению

А можно понадобиться [math]\boldsymbol{x(t)}[/math] = [math]\sin{x}[/math] или [math]\boldsymbol{x(t)}[/math] = [math]\cos{x}[/math] ?

Пробовали?

Автор:  Radley [ 10 ноя 2017, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению

Мне кажется, что ни синус, ни косинус не будут ортогональны одновременно этим двум функциям: t, [math]t^{2}[/math] . Нельзя ли тут как-то использовать полиномы Лежандра, ортогональные на заданном промежутке?

Автор:  swan [ 10 ноя 2017, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению

Возьмите квадратичный полином [math]at^2+bt+c[/math] и запишите 2 уравнения.

Автор:  Space [ 10 ноя 2017, 22:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти любую функцию, удовлетворяющую уравнению

Я решил задачу следующим образом. Скалярное произведение [math](f,
g) \equiv \int\limits_{-1}^{1} f(t) \cdot g(t) dt[/math]
. Заметим, что [math](t, t^2) = 0[/math], а также [math](1,t) = 0[/math].

Таким образом, можно воспользоваться ортогонализацией Грама-Шмидта, взяв за основу функцию [math]1[/math].

[math]x(t) = 1 - \operatorname{Pr}_{\left\langle{t, t^2}\right\rangle }{1}[/math]. Так как [math]t[/math] и [math]t^2[/math] ортогональны, то [math]x(t) = 1 - \operatorname{Pr}_{t}{1} - \operatorname{Pr}_{t^2}{1}[/math]. Так как ортогональны [math]1[/math] и [math]t[/math], то [math]\operatorname{Pr}_{t}{1} = 0[/math]. Итак, [math]x(t) = 1 -
\operatorname{Pr}_{t^2}{1} = 1 - \frac{(1,t^2)}{(t^2,t^2)}t^2 = 1 -
\frac{5}{3} t^2[/math]
.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/