Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегральное уравнение. Как решить ?
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2017, 20:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2017, 20:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть линейный оператор
[math]A[x] = \int\limits_{-t}^{t} s x(s) ds, A \,\colon C[-1,1] \to C[-1,1][/math]
Нужно найти его собственные числа (решить уравнение [math]A[x]=\lambda x[/math]) и собственные функции. Вот я застрял с уравнением
[math]\int\limits_{-t}^{t} s x(s) ds = \lambda x(t)[/math], с условием, что [math]\lambda \ne 0[/math]
Попытался Теоремой Барроу продифференцировать:
[math]\frac{\int\limits_{-t}^{t} s x(s) ds)'}{ \lambda} = x'(t)[/math] [math]\Rightarrow[/math]

[math]x'(t) =\frac{ t(x(t) + x(-t)) }{ \lambda }[/math]

Откуда видно, что
[math]x'(-t)=\frac{ -t(x(-t) + x(t)) }{ \lambda }[/math]

Т.е. производная нечетная
[math]-x'(t) = x'(-t)[/math]

Но я все еще не могу найти ни конкретные собственные числа, ни собственные векторы

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное уравнение. Как решить ?
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2017, 19:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2239
Cпасибо сказано: 338
Спасибо получено:
619 раз в 528 сообщениях
Очков репутации: 121

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]\lambda =0[/math], то речь идет о нахождении ядра оператора А. Несложно показать, ядро состоит из всех четных функций. Таким образом, ноль - собственное значение, а подпространство четных функций - собственное.
Если [math]\lambda \ne 0[/math], то из

[math]\int\limits_{-t}^{t} s x(s) ds = \lambda x(t)[/math]

следует, что [math]x(t)[/math] - (бесконечно) дифференцируемая нечетная функция.
Дифференцируя последнее равенство (см. дифференцирование интегралов по параметру) , получаем

[math]\lambda x'(t)=tx(t)-tx(-t)[/math].

Тогда ввиду нечетности функции

[math]\lambda x'(t)=2tx(t)[/math].

Интегрируя это уравнение, получаем

[math]x(t)=Ce^{\frac{ t^2 }{ \lambda }}[/math].

Но такая функция будет нечетной только при С=0.

Поэтому любое [math]\lambda \ne 0[/math] - не собственное значение.

Как-то так, если не ошибся где-то.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное уравнение. Как решить ?
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2017, 20:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2017, 20:28
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
Дифференцируя последнее равенство (см. дифференцирование интегралов по параметру) , получаем
[math]λx′(t)=tx(t)−tx(−t)[/math]

Ну если мне не изменяет теорема Барроу:
[math](\int\limits_{-t}^{t} s x(s) ds)' =(\int\limits_{-t}^{0} s x(s) ds) + \int\limits_{0}^{t} s x(s) ds)' = -(\int\limits_{0}^{-t} s x(s) ds))' + (\int\limits_{0}^{t} s x(s) ds)' = -(-t x(-t)) + t x(t) = t x(-t) + t x(t)[/math]
venjar писал(а):
Тогда ввиду нечетности функции

А как получено, что функция нечетная (достаточно ссылки на теорему или факт, а то мне не ясно)? Производная нечетная, но не функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральное уравнение. Как решить ?
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2017, 23:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3999
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
laralex писал(а):
[math]-(\int\limits_{0}^{-t} s x(s) ds))' + \ldots = -(-t x(-t)) + \ldots[/math]

Вы дифференцируете по [math]t[/math], а не по [math](-t)[/math], так что вылезает еще один минус.
laralex писал(а):
А как получено, что функция нечетная (достаточно ссылки на теорему или факт, а то мне не ясно)?

Поменяйте в исходном интеграле [math]t[/math] на [math]-t[/math], и сравните правые части равенства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить интегральное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Losyara

3

179

17 дек 2015, 01:09

Решить интегральное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

GUU111

2

81

29 мар 2017, 20:31

Решить интегральное уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

extruber

1

153

13 апр 2014, 15:53

Решить интегральное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Liana95

1

185

06 май 2014, 14:10

Решить интегральное уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kazantsev_pavel

1

141

12 дек 2014, 14:34

Как решить это интегральное уравнение ?

в форуме Интегральное исчисление

musaler

1

116

22 фев 2014, 04:59

Решить методом последовательных приближений интегральное

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

svetsstet

1

258

11 апр 2012, 23:39

Интегральное уравнение?

в форуме Интегральное исчисление

anchytka777

0

94

31 май 2015, 14:00

Интегральное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

f3b4c9083ba91

2

185

25 дек 2011, 15:05

Интегральное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Vasylisa

1

249

16 дек 2013, 21:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved