Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование положения равновесия на устойчивость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=55163
Страница 1 из 2

Автор:  vlad24 [ 01 июл 2017, 16:14 ]
Заголовок сообщения:  Исследование положения равновесия на устойчивость

Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Рассмотрим уравнение:
[math]\dot x=f(x)=x^3(x-1).[/math]
Точка [math]x_*=0[/math] является положением равновесия. Исследуем ее на устойчивость. Используем метод Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Найдем производную правой части уравнения:
[math]f'(x)=x^2 (4 x-3).[/math]
Вычислим ее значение при [math]x=0[/math]:
[math]f'(0)=0[/math], поэтому первый метод Ляпунова не дает информации об устойчивости нулевого положения равновесия.
Воспользуемся вторым методом Ляпунова. Функцию Ляпунова выберем следующей: [math]V(x)=x^2[/math]. Действительно, [math]V(0)=0, V(x)>0\ \forall x\neq 0.[/math]
Найдем производную функции Ляпунова в силу системы: [math]\dot V=2x\dot x=2x^4(x-1).[/math]
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Построим графики решений исходного уравнения.
1) Начальное условие [math]x(0)=0.99,[/math] т.е. из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
2) Начальное условие [math]x(0)=-5,[/math] тоже из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
3) Начальное условие [math]x(0)=1.01,[/math] из области неустойчивости [math]x>1[/math], решение уходит на бесконечность:
Изображение

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?

Автор:  vlad24 [ 01 июл 2017, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

searcher писал(а):
vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?


Не мне, а научному руководителю. Я сам не вижу ошибки.
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от [math]x[/math].

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость

Как вы сформулировали "результат исследования на устойчивость"?

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 17:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

Вот!
vlad24 писал(а):
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

Вообще результат должен быть такой - ноль просто асимптотически устойчив.

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

Извиняюсь. Посмотрел определение http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-lyapunovu. Асимптотически устойчива или неустойчива может быть уравнение в совокупности с каким-то её решением (!). Т.е. устойчиво наше ДУ + некоторое [math]x(t)[/math], а не некоторое [math]x[/math] (видимо вы так начальное условие обозначили). Хотя между траекторией [math]x(t)[/math] и начальным условием есть взаимно однозначное соответствие. Однако фраза "нуль неустойчив при [math]x>1[/math]" некорректна, как на неё ни посмотри..

Автор:  vlad24 [ 01 июл 2017, 17:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...
Мы нашли область устойчивости: [math]x<1[/math]. Берем оттуда начальные точки, и решения, стартующие из них, со течением времени приближаются к нулю. Если начальную точку взять из области неустойчивости [math]x>1[/math], то решение уходит на бесконечность, а не к нулю. Разве это не так? И построенные графики соответствуют этому.

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

vlad24 писал(а):
Разве это не так?

Это так. Своё мнение
searcher писал(а):
Однако фраза "нуль неустойчив при x>1" некорректна, как на неё ни посмотри..

я высказал.

Автор:  searcher [ 01 июл 2017, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование положения равновесия на устойчивость

vlad24 писал(а):
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...

А я понял, что результат вы неправильно сформулировали
vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от x .

Правильно сказал.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/