Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
vlad24 |
|
||
Рассмотрим уравнение: [math]\dot x=f(x)=x^3(x-1).[/math] Точка [math]x_*=0[/math] является положением равновесия. Исследуем ее на устойчивость. Используем метод Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Найдем производную правой части уравнения: [math]f'(x)=x^2 (4 x-3).[/math] Вычислим ее значение при [math]x=0[/math]: [math]f'(0)=0[/math], поэтому первый метод Ляпунова не дает информации об устойчивости нулевого положения равновесия. Воспользуемся вторым методом Ляпунова. Функцию Ляпунова выберем следующей: [math]V(x)=x^2[/math]. Действительно, [math]V(0)=0, V(x)>0\ \forall x\neq 0.[/math] Найдем производную функции Ляпунова в силу системы: [math]\dot V=2x\dot x=2x^4(x-1).[/math] Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив. Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив. Построим графики решений исходного уравнения. 1) Начальное условие [math]x(0)=0.99,[/math] т.е. из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю: 2) Начальное условие [math]x(0)=-5,[/math] тоже из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю: 3) Начальное условие [math]x(0)=1.01,[/math] из области неустойчивости [math]x>1[/math], решение уходит на бесконечность: |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
vlad24 писал(а): Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже? Вам что-то не нравится? |
|||
Вернуться к началу | |||
vlad24 |
|
|
searcher писал(а): vlad24 писал(а): Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже? Вам что-то не нравится? Не мне, а научному руководителю. Я сам не вижу ошибки. Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от [math]x[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
||
vlad24 писал(а): Он сказал, что результат исследования на устойчивость Как вы сформулировали "результат исследования на устойчивость"? |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
|
Вот!
vlad24 писал(а): Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив. Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
||
Вообще результат должен быть такой - ноль просто асимптотически устойчив.
|
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
Извиняюсь. Посмотрел определение http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-lyapunovu. Асимптотически устойчива или неустойчива может быть уравнение в совокупности с каким-то её решением (!). Т.е. устойчиво наше ДУ + некоторое [math]x(t)[/math], а не некоторое [math]x[/math] (видимо вы так начальное условие обозначили). Хотя между траекторией [math]x(t)[/math] и начальным условием есть взаимно однозначное соответствие. Однако фраза "нуль неустойчив при [math]x>1[/math]" некорректна, как на неё ни посмотри..
|
|||
Вернуться к началу | |||
vlad24 |
|
||
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...
Мы нашли область устойчивости: [math]x<1[/math]. Берем оттуда начальные точки, и решения, стартующие из них, со течением времени приближаются к нулю. Если начальную точку взять из области неустойчивости [math]x>1[/math], то решение уходит на бесконечность, а не к нулю. Разве это не так? И построенные графики соответствуют этому. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
vlad24 писал(а): Разве это не так? Это так. Своё мнение searcher писал(а): Однако фраза "нуль неустойчив при x>1" некорректна, как на неё ни посмотри.. я высказал. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
vlad24 писал(а): Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так... А я понял, что результат вы неправильно сформулировали vlad24 писал(а): Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от x . Правильно сказал. |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Модель популяции, устойчивость положения равновесия
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
265 |
21 дек 2021, 13:55 |
|
Положения Равновесия на сфере | 0 |
192 |
28 май 2020, 13:45 |
|
Найти положения равновесия системы
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
275 |
15 июн 2015, 08:12 |
|
Найти положения равновесия, характер, фазовые траектории | 0 |
204 |
19 ноя 2019, 05:55 |
|
Найти положения равновесия, характер, фазовые траектории | 0 |
174 |
19 ноя 2019, 05:53 |
|
Устойчивость равновесия плавания тел (1)
в форуме Механика |
1 |
66 |
29 ноя 2023, 19:39 |
|
Нарушение равновесия (10)
в форуме Механика |
12 |
155 |
18 ноя 2023, 11:23 |
|
Нарушение равновесия(5)
в форуме Механика |
6 |
142 |
18 ноя 2023, 11:14 |
|
Нарушение равновесия
в форуме Механика |
25 |
222 |
15 ноя 2023, 21:03 |
|
Прямые и плоскости общего положения
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
9 |
597 |
24 июл 2021, 19:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |