Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 16:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 15:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Рассмотрим уравнение:
[math]\dot x=f(x)=x^3(x-1).[/math]
Точка [math]x_*=0[/math] является положением равновесия. Исследуем ее на устойчивость. Используем метод Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Найдем производную правой части уравнения:
[math]f'(x)=x^2 (4 x-3).[/math]
Вычислим ее значение при [math]x=0[/math]:
[math]f'(0)=0[/math], поэтому первый метод Ляпунова не дает информации об устойчивости нулевого положения равновесия.
Воспользуемся вторым методом Ляпунова. Функцию Ляпунова выберем следующей: [math]V(x)=x^2[/math]. Действительно, [math]V(0)=0, V(x)>0\ \forall x\neq 0.[/math]
Найдем производную функции Ляпунова в силу системы: [math]\dot V=2x\dot x=2x^4(x-1).[/math]
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Построим графики решений исходного уравнения.
1) Начальное условие [math]x(0)=0.99,[/math] т.е. из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
2) Начальное условие [math]x(0)=-5,[/math] тоже из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
3) Начальное условие [math]x(0)=1.01,[/math] из области неустойчивости [math]x>1[/math], решение уходит на бесконечность:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 16:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 16:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 15:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?


Не мне, а научному руководителю. Я сам не вижу ошибки.
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от [math]x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость

Как вы сформулировали "результат исследования на устойчивость"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот!
vlad24 писал(а):
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще результат должен быть такой - ноль просто асимптотически устойчив.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь. Посмотрел определение http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-lyapunovu. Асимптотически устойчива или неустойчива может быть уравнение в совокупности с каким-то её решением (!). Т.е. устойчиво наше ДУ + некоторое [math]x(t)[/math], а не некоторое [math]x[/math] (видимо вы так начальное условие обозначили). Хотя между траекторией [math]x(t)[/math] и начальным условием есть взаимно однозначное соответствие. Однако фраза "нуль неустойчив при [math]x>1[/math]" некорректна, как на неё ни посмотри..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 15:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...
Мы нашли область устойчивости: [math]x<1[/math]. Берем оттуда начальные точки, и решения, стартующие из них, со течением времени приближаются к нулю. Если начальную точку взять из области неустойчивости [math]x>1[/math], то решение уходит на бесконечность, а не к нулю. Разве это не так? И построенные графики соответствуют этому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Разве это не так?

Это так. Своё мнение
searcher писал(а):
Однако фраза "нуль неустойчив при x>1" некорректна, как на неё ни посмотри..

я высказал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...

А я понял, что результат вы неправильно сформулировали
vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от x .

Правильно сказал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Модель популяции, устойчивость положения равновесия

в форуме Векторный анализ и Теория поля

crazymadman18

1

265

21 дек 2021, 13:55

Положения Равновесия на сфере

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Roloroma

0

192

28 май 2020, 13:45

Найти положения равновесия системы

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

0

275

15 июн 2015, 08:12

Найти положения равновесия, характер, фазовые траектории

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

JohnnyGru

0

204

19 ноя 2019, 05:55

Найти положения равновесия, характер, фазовые траектории

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

JohnnyGru

0

174

19 ноя 2019, 05:53

Устойчивость равновесия плавания тел (1)

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

1

66

29 ноя 2023, 19:39

Нарушение равновесия (10)

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

12

155

18 ноя 2023, 11:23

Нарушение равновесия(5)

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

6

142

18 ноя 2023, 11:14

Нарушение равновесия

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

25

222

15 ноя 2023, 21:03

Прямые и плоскости общего положения

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

silversurficus

9

597

24 июл 2021, 19:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved