Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 16:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Рассмотрим уравнение:
[math]\dot x=f(x)=x^3(x-1).[/math]
Точка [math]x_*=0[/math] является положением равновесия. Исследуем ее на устойчивость. Используем метод Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Найдем производную правой части уравнения:
[math]f'(x)=x^2 (4 x-3).[/math]
Вычислим ее значение при [math]x=0[/math]:
[math]f'(0)=0[/math], поэтому первый метод Ляпунова не дает информации об устойчивости нулевого положения равновесия.
Воспользуемся вторым методом Ляпунова. Функцию Ляпунова выберем следующей: [math]V(x)=x^2[/math]. Действительно, [math]V(0)=0, V(x)>0\ \forall x\neq 0.[/math]
Найдем производную функции Ляпунова в силу системы: [math]\dot V=2x\dot x=2x^4(x-1).[/math]
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Построим графики решений исходного уравнения.
1) Начальное условие [math]x(0)=0.99,[/math] т.е. из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
2) Начальное условие [math]x(0)=-5,[/math] тоже из области устойчивости [math]x<1[/math], решение стремится к нулю:
Изображение
3) Начальное условие [math]x(0)=1.01,[/math] из области неустойчивости [math]x>1[/math], решение уходит на бесконечность:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 17:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 16:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
vlad24 писал(а):
Вопрос: где ошибка в рассуждении ниже?

Вам что-то не нравится?


Не мне, а научному руководителю. Я сам не вижу ошибки.
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от [math]x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость

Как вы сформулировали "результат исследования на устойчивость"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот!
vlad24 писал(а):
Если [math]x<1,[/math] то [math]\dot V<0,[/math] и нуль асимптотически устойчив.
Если [math]x>1,[/math] то [math]\dot V>0,[/math] и нуль неустойчив.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще результат должен быть такой - ноль просто асимптотически устойчив.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь. Посмотрел определение http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ustoichivost-po-lyapunovu. Асимптотически устойчива или неустойчива может быть уравнение в совокупности с каким-то её решением (!). Т.е. устойчиво наше ДУ + некоторое [math]x(t)[/math], а не некоторое [math]x[/math] (видимо вы так начальное условие обозначили). Хотя между траекторией [math]x(t)[/math] и начальным условием есть взаимно однозначное соответствие. Однако фраза "нуль неустойчив при [math]x>1[/math]" некорректна, как на неё ни посмотри..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 июл 2017, 16:11
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...
Мы нашли область устойчивости: [math]x<1[/math]. Берем оттуда начальные точки, и решения, стартующие из них, со течением времени приближаются к нулю. Если начальную точку взять из области неустойчивости [math]x>1[/math], то решение уходит на бесконечность, а не к нулю. Разве это не так? И построенные графики соответствуют этому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 18:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Разве это не так?

Это так. Своё мнение
searcher писал(а):
Однако фраза "нуль неустойчив при x>1" некорректна, как на неё ни посмотри..

я высказал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование положения равновесия на устойчивость
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 19:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2191
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vlad24 писал(а):
Там основная претензия была к тому, как воспользовались вторым методом Ляпунова. Но толком не объяснили, что не так...

А я понял, что результат вы неправильно сформулировали
vlad24 писал(а):
Он сказал, что результат исследования на устойчивость не должен зависеть от x .

Правильно сказал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
ОПределить тип положения равновесия

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

vernika17

0

198

18 дек 2012, 09:31

Найти положения равновесия системы

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

0

109

15 июн 2015, 09:12

Написать выражение для константы равновесия системы

в форуме Химия и Биология

Cherni

1

356

30 ноя 2011, 18:18

Уравнение геометрического положения точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

karawella

2

128

26 дек 2015, 21:19

Оптимизация угадывания положения фигур

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

dimochka

0

215

20 сен 2013, 13:42

Определить, на каком расстоянии от положения статического

в форуме Механика

Empire1411

9

360

17 сен 2012, 10:31

Зависимость изменения диаметров положения ремня на шкивах

в форуме Механика

Tester

3

224

25 апр 2015, 13:29

Исследовать на устойчивость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

DarkAngel

0

159

21 сен 2013, 12:11

Устойчивость схемы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Fiztechofets

1

137

20 дек 2015, 19:32

Непродолжаемые решения, устойчивость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lolita

7

414

26 авг 2012, 13:33


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved