Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 19 май 2017, 15:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!

Столкнулся я с такой задачей. Есть система уравнений:

[math]i\frac{dy_1}{dt}=f_1(t)y_1+f_2(t)y_2[/math]

[math]i\frac{dy_2}{dt}=f_1(t)y_2+f_2(t)y_1[/math]

где [math]y_{1,2}[/math] - вектора двумерные, [math]f_{1,2}[/math] - матрицы 2 на 2. Не вдаваясь в подробности можно ли записать решение в виде?:

[math]y_1(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-i\int(f_1+f_2)dt}+e^{-i\int(f_1-f_2)dt}\right)y_1(0)[/math]

[math]y_1(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-i\int(f_1+f_2)dt}-e^{-i\int(f_1-f_2)dt}\right)y_2(0)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 19 май 2017, 15:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно, почти очевидно. Во последней строке опечатка слева для [math]y_2(t)=[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 19 май 2017, 15:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это то да, но вот если мне не изменяет память в таких уравнениях есть свои тонкости касательно сходимости...дифуры можно переписать в интегральные уравнения и искать скажем последовательными приближениями, но в этом случае возникает вопрос о сходимости рядов в случае инт. уравнения фредгольма в котором накладывается ограничения на норму инт. оператора. Для вольтера вроде нет таких ограничений. Так это?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 20 май 2017, 08:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, для сходимости сходимости рядов в случае инт. уравнения накладывается ограничения на норму инт. оператора.
Оператор Вольтерры квазинильпотентен, т.е.
[math]{\left\| {{A^n}} \right\|^{\frac{1}{n}}} \to 0[/math] при [math]n \to \infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
lexus666
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 20 май 2017, 10:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop

спасибо! Рад Вас видеть :)
Еще вопрос. А есть ли какие-то ограничения налагаемые на сами матрицы? Я вот где-то вычитал, что уравнение типа ([math]A(t)[/math] - матрица):

[math]\frac{d\vec{y}}{dt}=A(t)\vec{y}[/math]

имеет ришение

[math]\vec{y}(t)=e^{\int A(t)dt}\vec{y}(0)[/math]

в том случае если при различных параметрах [math]t[/math] матрица коммутирует сама с собой[math]A(t_1)A(t_2)=A(t_2)A(t_1)[/math]. В противном случае в виде экспоненты записывать решение нельзя. Это так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений с матрицами
СообщениеДобавлено: 20 май 2017, 11:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В каком-то смысле и при каких-то условиях коммутации так записывают.
Посмотрите понятие "Матрицант" (погуглите).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
lexus666
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система уравнений

в форуме Алгебра

Lizalakuntsova

5

760

06 авг 2015, 12:42

Система уравнений

в форуме Алгебра

kann7

5

362

19 дек 2018, 20:53

Система уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

RabbitWhite

5

650

14 окт 2015, 16:32

Система уравнений

в форуме Алгебра

neeara

10

485

08 июн 2018, 08:06

Система уравнений

в форуме Алгебра

viktoria_volkova

2

322

26 окт 2015, 18:09

Система уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

verochkam

5

352

01 май 2018, 20:59

Система уравнений

в форуме Тригонометрия

Musk

16

825

23 апр 2018, 13:15

Система уравнений

в форуме Алгебра

Andreww

5

491

24 фев 2018, 23:29

Система уравнений

в форуме Алгебра

Andreww

4

441

17 фев 2018, 01:34

Система уравнений

в форуме Алгебра

dmath18

12

602

04 фев 2018, 23:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved