Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
nicelir |
|
||
(Далее кое-какие пояснения, но сразу прошу прощения у математиков, так как я студент-физик:) Насколько я понял, в наиболее общей формулировке вопрос можно поставить так: Если мы рассмотрим линейное однородное ДУ n-ого порядка в виде линейного дифференциального оператора [math]\mathcal{L}(x)y(x)= 0[/math] то пространство функций y(x), удовлетворяющих этому уравнению будет n-мерным, соответственно базисом будет n функци. Получается, что область определения дифференциального оператора представляющего ЛОДУ n-ого порядка n-мерно. Так вот: 1) есть ли какая-нибудь теорема, доказывающая, что это пространство именно n-мерно? 2) Eсли есть, то есть ли какое-нибудь обобщение на более широкий класс уравнений? Например на нелинейные. 3) Ну и можно ли как-нибудь эту вещь сформулировать не углубляясь в функциональный анализ? P.S.: Самое близкое, что я нашел - это доказательство того, что существует МАКСИМУМ n линейно независимых функций, удовлетворяющих ЛОДУ n-ого порядка. Доказательство идет через Определитель Вронского, так что такой вариант предлагать не надо. Доказательство существования и единственности решения задачи Коши тоже знаю, и вопрос немного в другом. P.S.S: Еще из симметрии можно показать, что если оператор четный или нечетный, то можно найти два лин. независимых решения: четное и нечетное. И вместе с вронскианом получить, что ровно n функций. Но это не общее док-во. |
|||
Вернуться к началу | |||
dr Watson |
|
||
Какие док-ва нужны, В инете полно ссылок. Ну вот к примеру: http://matematika.phys.msu.ru/files/stu ... kcia06.pdf
Там есть всё, что надо. В частности есть и о размерности - теоремы 8,9. Нет только обобщений, "например на нелинейные системы" - потому что такие обобщения не имеют места быть. nicelir писал(а): Доказательство идет через Определитель Вронского, так что такой вариант предлагать не надо. А зачем не надо, чем Вронскиан Вам не пондравился? |
|||
Вернуться к началу | |||
nicelir |
|
||
Потому что через определитель Вронского доказывается, что решений МАКСИМУМ n. Но нигде не доказывается, что существует именно n решений, а не только, например, n-1.
В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют. К тому же, если n - линейно независимы, то и n-1, n-2... |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
nicelir писал(а): Но нигде не доказано, что все n решений существуют. Обычно в учебниках предъявляется конкретный набор из n экспонент, которые являются независимыми решениями. (Если корни хар. уравнения кратные, то есть нюанс, и там этот набор строится чуток по другому). |
|||
Вернуться к началу | |||
nicelir |
|
||
searcher писал(а): Обычно в учебниках предъявляется конкретный набор из n экспонент, которые являются независимыми решениями. Это относится только к уравнениям с постоянными коэффициентами. Я же имею в виду оператор типа: [math]\mathcal{L} (x)=\frac{d^n}{ dx^n} +A_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{ dx^{n-1}}+A_{n-2}(x)\frac{d^{n-2}}{ dx^{n-2}}+...[/math] где коеффициенты являются функциями от х. В этом случае решения - не обязательно экспоненты. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
nicelir
Какой учебник читаете? Для примера. Тихонов, Васильева, Свешников. Глава 3, пар. 3, теорема 3.10, "ФСР существует". |
|||
Вернуться к началу | |||
nicelir |
|
||
searcher писал(а): Тихонов, Васильева, Свешников. Глава 3, пар. 3, теорема 3.10, "ФСР существует". В теореме 3.10 из ТВС, как и везде, доказывается лишь, что если мы нашли n решений задачи Коши с начальными условиями заданными ненулевым определителем Вронского, то решения линейно незавимыми и образуют ФСР. Но нигде не доказывается, что вообще возможно найти такие n решений. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
|
nicelir писал(а): В теореме 3.10 из ТВС, как и везде, доказывается лишь, что если мы нашли n решений задачи Коши с начальными условиями заданными ненулевым определителем Вронского, то решения линейно незавимыми и образуют ФСР. Но нигде не доказывается, что вообще возможно найти такие n решений. В теореме 3.10 предлагается очень конкретная процедура построения n ЛНЗ решений. Она состоит в следующем. 1) Задаём какой-нибудь определитель, не равный нулю. 2) По этому определителю строим определённым образом систему из n начальных данных. 3) Каждый элемент из этого набора данных задаёт какое-то решение уравнения. 4) В начальной точке определитель, который мы задали, является определителем Вронского, и он отличен от нуля. 5) По ранее доказанной теореме определитель Вронского будет отличен от нуля везде. 6) По ранее доказанной теореме полученные n решений будут линейно независимы. Кстати, это абсолютно совпадает с предлагаемым ранее dr Watson теоремой 8 в пособии по ссылке. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: nicelir |
||
searcher |
|
||
nicelir писал(а): В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют. Если мы их сконструируем, то значит они существуют. nicelir писал(а): В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют А если так. Вам надо доказать. что существуют по крайней мере три простых числа. К вам приходит человек, и говорит, что он сконструировал (нашёл) три простых числа. Он говорит, что это будут - 2, 3 и 5. Вы ему не верите и говорите, что он числа как-то "сконструировал", но ведь не доказал, что они существуют! Вроде Ландау говорил, что физики должны относиться к теоремам существования без фанатизма. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
searcher писал(а): 3) Каждый элемент из этого набора данных задаёт какое-то решение уравнения. Там идёт ссылка на теорему, что для конкретного начального условия существует и единственно решение ДУ. И наше ДУ должно быть такое, чтобы удовлетворять этой теореме. |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |