Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 00:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 апр 2017, 23:23
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем доброго времени суток. Возник вопрос по поводу числа линейно независимых решений дифференциального уравнения. Вот везде без особых пояснений говорится, что у уравнения(линейного однородного) n-ого порядка n линейно независимых решений и общее решение - линейная комбинация этих решений.

(Далее кое-какие пояснения, но сразу прошу прощения у математиков, так как я студент-физик:)
Насколько я понял, в наиболее общей формулировке вопрос можно поставить так: Если мы рассмотрим линейное однородное ДУ n-ого порядка в виде линейного дифференциального оператора
[math]\mathcal{L}(x)y(x)= 0[/math]
то пространство функций y(x), удовлетворяющих этому уравнению будет n-мерным, соответственно базисом будет n функци. Получается, что область определения дифференциального оператора представляющего ЛОДУ n-ого порядка n-мерно.
Так вот: 1) есть ли какая-нибудь теорема, доказывающая, что это пространство именно n-мерно?
2) Eсли есть, то есть ли какое-нибудь обобщение на более широкий класс уравнений? Например на нелинейные.
3) Ну и можно ли как-нибудь эту вещь сформулировать не углубляясь в функциональный анализ?

P.S.: Самое близкое, что я нашел - это доказательство того, что существует МАКСИМУМ n линейно независимых функций, удовлетворяющих ЛОДУ n-ого порядка. Доказательство идет через Определитель Вронского, так что такой вариант предлагать не надо. Доказательство существования и единственности решения задачи Коши тоже знаю, и вопрос немного в другом.
P.S.S: Еще из симметрии можно показать, что если оператор четный или нечетный, то можно найти два лин. независимых решения: четное и нечетное. И вместе с вронскианом получить, что ровно n функций. Но это не общее док-во.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 05:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какие док-ва нужны, В инете полно ссылок. Ну вот к примеру: http://matematika.phys.msu.ru/files/stu ... kcia06.pdf
Там есть всё, что надо. В частности есть и о размерности - теоремы 8,9.
Нет только обобщений, "например на нелинейные системы" - потому что такие обобщения не имеют места быть.
nicelir писал(а):
Доказательство идет через Определитель Вронского, так что такой вариант предлагать не надо.

А зачем не надо, чем Вронскиан Вам не пондравился?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 09:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 апр 2017, 23:23
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что через определитель Вронского доказывается, что решений МАКСИМУМ n. Но нигде не доказывается, что существует именно n решений, а не только, например, n-1.
В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют. К тому же, если n - линейно независимы, то и n-1, n-2...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 12:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicelir писал(а):
Но нигде не доказано, что все n решений существуют.

Обычно в учебниках предъявляется конкретный набор из n экспонент, которые являются независимыми решениями. (Если корни хар. уравнения кратные, то есть нюанс, и там этот набор строится чуток по другому).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 12:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 апр 2017, 23:23
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Обычно в учебниках предъявляется конкретный набор из n экспонент, которые являются независимыми решениями.


Это относится только к уравнениям с постоянными коэффициентами. Я же имею в виду оператор типа:
[math]\mathcal{L} (x)=\frac{d^n}{ dx^n} +A_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{ dx^{n-1}}+A_{n-2}(x)\frac{d^{n-2}}{ dx^{n-2}}+...[/math]
где коеффициенты являются функциями от х. В этом случае решения - не обязательно экспоненты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 13:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicelir
Какой учебник читаете? Для примера. Тихонов, Васильева, Свешников. Глава 3, пар. 3, теорема 3.10, "ФСР существует".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 14:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 апр 2017, 23:23
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Тихонов, Васильева, Свешников. Глава 3, пар. 3, теорема 3.10, "ФСР существует".


В теореме 3.10 из ТВС, как и везде, доказывается лишь, что если мы нашли n решений задачи Коши с начальными условиями заданными ненулевым определителем Вронского, то решения линейно незавимыми и образуют ФСР.
Но нигде не доказывается, что вообще возможно найти такие n решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 15:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicelir писал(а):
В теореме 3.10 из ТВС, как и везде, доказывается лишь, что если мы нашли n решений задачи Коши с начальными условиями заданными ненулевым определителем Вронского, то решения линейно незавимыми и образуют ФСР.
Но нигде не доказывается, что вообще возможно найти такие n решений.

В теореме 3.10 предлагается очень конкретная процедура построения n ЛНЗ решений. Она состоит в следующем.
1) Задаём какой-нибудь определитель, не равный нулю. 2) По этому определителю строим определённым образом систему из n начальных данных. 3) Каждый элемент из этого набора данных задаёт какое-то решение уравнения. 4) В начальной точке определитель, который мы задали, является определителем Вронского, и он отличен от нуля. 5) По ранее доказанной теореме определитель Вронского будет отличен от нуля везде. 6) По ранее доказанной теореме полученные n решений будут линейно независимы.
Кстати, это абсолютно совпадает с предлагаемым ранее dr Watson теоремой 8 в пособии по ссылке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
nicelir
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 15:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicelir писал(а):
В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют.

Если мы их сконструируем, то значит они существуют.
nicelir писал(а):
В той методичке, что вы скинулы в Теореме 8 мы сначала конструируем n решений. Но нигде не доказано, что все n решений существуют

А если так. Вам надо доказать. что существуют по крайней мере три простых числа. К вам приходит человек, и говорит, что он сконструировал (нашёл) три простых числа. Он говорит, что это будут - 2, 3 и 5. Вы ему не верите и говорите, что он числа как-то "сконструировал", но ведь не доказал, что они существуют! Вроде Ландау говорил, что физики должны относиться к теоремам существования без фанатизма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число линейно независимых решений однородного линейного ДУ
СообщениеДобавлено: 19 апр 2017, 17:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
3) Каждый элемент из этого набора данных задаёт какое-то решение уравнения.

Там идёт ссылка на теорему, что для конкретного начального условия существует и единственно решение ДУ. И наше ДУ должно быть такое, чтобы удовлетворять этой теореме.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Свойства линейно независимых решений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Atogawa

0

223

02 дек 2014, 09:44

МНК - поиск линейно независимых функций

в форуме Численные методы

proggamer

15

752

11 июн 2015, 16:12

Найдите множество линейно независимых векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

eliotvaliev

0

245

07 апр 2019, 14:23

Количество линейно независимых собственных векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nikita123321aaa

2

644

31 май 2017, 17:06

Выберите набор из макс. кол-ва линейно независимых векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

forzi

23

1162

13 июн 2018, 08:52

Найти частное решение линейного однородного дифференциальног

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Forge0100

2

291

05 июн 2014, 23:31

Найти общее решение линейного однородного по данному частном

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

azazan1234

3

315

18 дек 2017, 22:30

Найти частное решение линейного однородного дифф уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

baton

7

432

12 янв 2021, 15:09

Линейно зависимые и линейно независимые ряды чисел

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Aisenidze

5

408

26 май 2015, 07:23

Узнать линейно зависимые или линейно независимые вектора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

sergeykonar

2

195

03 май 2020, 15:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved