Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных
СообщениеДобавлено: 11 янв 2017, 19:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 янв 2017, 19:04
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вероятно никто не ответит на данное сообщение, но я все же попытаюсь, спасибо :)
Найдите стационарную температуру u(ρ, z) внутри цилиндра, имеющего круглое основание радиуса R и высоту h, если

U[math]_{t}[/math] = [math]\Delta U[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ t=0 }[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ r=R }[/math] = 2[math]\sin{3z}[/math]*[math]\cos{ \varphi }[/math]*[math]\sin{2t}[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ z=0 }[/math] = 0
[math]\left.{ U }\right|_{ z=h }[/math] = 0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных
СообщениеДобавлено: 11 янв 2017, 19:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ilmari_81 писал(а):
Вероятно никто не ответит на данное сообщение, но я все же попытаюсь, спасибо :)
Найдите стационарную температуру u(ρ, z) внутри цилиндра, имеющего круглое основание радиуса R и высоту h, если

U[math]_{t}[/math] = [math]\Delta U[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ t=0 }[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ r=R }[/math] = 2[math]\sin{3z}[/math]*[math]\cos{ \varphi }[/math]*[math]\sin{2t}[/math]
[math]\left.{ U }\right|_{ z=0 }[/math] = 0
[math]\left.{ U }\right|_{ z=h }[/math] = 0

У меня несколько вопросов:

1. Вы записали задачу для уравнения теплопроводности (и то не до конца, где начальное условие?), а не для уравнения Лапласа. Что Вы все-таки решаете?

2. Почему у Вас в самой функции нет зависимости от угла, а в граничном условии оно вдруг есть?

3. Ну и опять же, у Вас в граничном условии есть зависимость от времени, о каком стационарном распределении температуры тут может идти речь?

В общем, итог такой: для задачи Коши для уравнения теплопроводности у Вас не хватает начального условия, а для задачи Дирихле для уравнения Лапласа непонятно, откуда время. Ну и с углом разберитесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных
СообщениеДобавлено: 11 янв 2017, 19:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 янв 2017, 19:04
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Совершенно в этом не силен, преподавателем была дана задача, в которой по большому счету, насколько я понимаю нужно найти решение на U. Учитывая ,что условие даны неоднородные , видимо решать нужно методом суперпозиции, как U=V+W , подбирая V . но повторюсь ,я весьма слаб в данной теме и поэтому обратился за помощью, ибо назад хода нет :(
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 12:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ilmari_81 писал(а):
Изображение[/url]

В таком виде задача понятна, но ее решение несколько заморочное. Если я нигде не ошибся, то решение придется искать в виде ряда по функциям Бесселя :%) Я напишу основные шаги, которые я предлагаю Вам проделать, однако не могу утверждать, что задача решается именно так.

1. Распишите лапласиан в цилиндрических координатах, подставьте в уравнение [math]u(t,r,\varphi,z)=v(t,r)\sin3z\cos\varphi[/math] и получите задачу на [math]v(t,r)[/math]:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& v_t=Dv \\
& \left.v\right|_{t=0}=0 \\
& \left.v\right|_{r=R}=2\sin2t
\end{aligned}\right.[/math]


где [math]Dv=v_{rr}+\frac1rv_r-\frac1{r^2}v-9v[/math]
2. Решение можно сдвинуть, чтобы избавиться от краевого условия: [math]v(t,r)=w(t,r)+\frac{2r}R\sin2t[/math]. Получите задачу на [math]w(t,r)[/math]:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& w_t=Dw-\frac{18r}R\sin2t-\frac{4r}R\cos2t \\
& \left.w\right|_{t=0}=0 \\
& \left.w\right|_{r=R}=0
\end{aligned}\right.[/math]


3. Далее придется искать решение в виде ряда по собственным функциям оператора [math]D[/math]. Соответствующая задача приводит к уравнению Бесселя:

[math]r^2f''+rf'+((\lambda-9)r^2-1)f=0[/math]

Ограниченное в цилиндре решение, имеющее положительный корень, будет только в случае [math]\lambda>9[/math] и имеет вид [math]J_1\left(\sqrt{\lambda-9}r\right)[/math] - функция Бесселя первого рода порядка 1. Учитывая краевое условие, находим связь между нулями функции Бесселя и параметром [math]\lambda[/math]:

[math]\lambda_n=9+\left(\frac{\mu_{1n}}R\right)^2[/math], [math]\mu_{1n}[/math] - [math]n[/math]-ый положительный корень функции [math]J_1(x)[/math].

4. Подставляя [math]w(t,r)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)J_1\left(\frac{\mu_{1n}}Rr\right)[/math] в уравнение и пользуясь ортогональностью функций Бесселя приходим к следующим задачам Коши для определения [math]T_n(t)[/math]:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& T_n'+\lambda_nT_n=-C_n(18\sin2t+4\cos2t) \\
& \left.T_n\right|_{t=0}=0
\end{aligned}\right.[/math]


где [math]C_n=\frac2{J_2^2(\mu_{1n})}\int\limits_0^1x^2J_1(\mu_{1n}x)\,dx[/math]. Общее решение однородного уравнения очевидно, а частное ищется в виде [math]T_n(t)=A_n\cos2t+B_n\sin2t[/math] - это все уже сами сделаете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разделение переменных, замена переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

champion12

0

363

23 май 2015, 11:26

Разделение переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

graft

3

290

13 май 2015, 14:45

Разделение переменных в дифференциальных уравнениях

в форуме Размышления по поводу и без

Hoper

10

601

01 окт 2018, 12:20

Уравнение Лапласа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Snofr

2

418

10 мар 2018, 09:29

Уравнение Лапласа

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

slverwolf

7

389

24 дек 2020, 13:23

Дифференциальное уравнение Лапласа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Tatyana_vinogradova

0

261

02 окт 2016, 13:12

Неоднородное уравнение Лапласа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mr_Cat

5

789

03 апр 2014, 20:58

УМФ. Задача на уравнение Лапласа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

mandore

0

265

02 янв 2017, 10:53

Уравнение лапласа с краевыми условиями

в форуме Интегральное исчисление

AiG

0

265

13 окт 2015, 12:53

Вектора в трехмерном пространстве

в форуме Механика

wartemw

1

317

17 ноя 2018, 12:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved