Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ilmari_81 |
|
|
Найдите стационарную температуру u(ρ, z) внутри цилиндра, имеющего круглое основание радиуса R и высоту h, если U[math]_{t}[/math] = [math]\Delta U[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ t=0 }[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ r=R }[/math] = 2[math]\sin{3z}[/math]*[math]\cos{ \varphi }[/math]*[math]\sin{2t}[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ z=0 }[/math] = 0 [math]\left.{ U }\right|_{ z=h }[/math] = 0 |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
ilmari_81 писал(а): Вероятно никто не ответит на данное сообщение, но я все же попытаюсь, спасибо Найдите стационарную температуру u(ρ, z) внутри цилиндра, имеющего круглое основание радиуса R и высоту h, если U[math]_{t}[/math] = [math]\Delta U[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ t=0 }[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ r=R }[/math] = 2[math]\sin{3z}[/math]*[math]\cos{ \varphi }[/math]*[math]\sin{2t}[/math] [math]\left.{ U }\right|_{ z=0 }[/math] = 0 [math]\left.{ U }\right|_{ z=h }[/math] = 0 У меня несколько вопросов: 1. Вы записали задачу для уравнения теплопроводности (и то не до конца, где начальное условие?), а не для уравнения Лапласа. Что Вы все-таки решаете? 2. Почему у Вас в самой функции нет зависимости от угла, а в граничном условии оно вдруг есть? 3. Ну и опять же, у Вас в граничном условии есть зависимость от времени, о каком стационарном распределении температуры тут может идти речь? В общем, итог такой: для задачи Коши для уравнения теплопроводности у Вас не хватает начального условия, а для задачи Дирихле для уравнения Лапласа непонятно, откуда время. Ну и с углом разберитесь. |
||
Вернуться к началу | ||
ilmari_81 |
|
|
Совершенно в этом не силен, преподавателем была дана задача, в которой по большому счету, насколько я понимаю нужно найти решение на U. Учитывая ,что условие даны неоднородные , видимо решать нужно методом суперпозиции, как U=V+W , подбирая V . но повторюсь ,я весьма слаб в данной теме и поэтому обратился за помощью, ибо назад хода нет
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
ilmari_81 писал(а): [/url] В таком виде задача понятна, но ее решение несколько заморочное. Если я нигде не ошибся, то решение придется искать в виде ряда по функциям Бесселя Я напишу основные шаги, которые я предлагаю Вам проделать, однако не могу утверждать, что задача решается именно так. 1. Распишите лапласиан в цилиндрических координатах, подставьте в уравнение [math]u(t,r,\varphi,z)=v(t,r)\sin3z\cos\varphi[/math] и получите задачу на [math]v(t,r)[/math]: [math]\left\{\!\begin{aligned} & v_t=Dv \\ & \left.v\right|_{t=0}=0 \\ & \left.v\right|_{r=R}=2\sin2t \end{aligned}\right.[/math] где [math]Dv=v_{rr}+\frac1rv_r-\frac1{r^2}v-9v[/math] 2. Решение можно сдвинуть, чтобы избавиться от краевого условия: [math]v(t,r)=w(t,r)+\frac{2r}R\sin2t[/math]. Получите задачу на [math]w(t,r)[/math]: [math]\left\{\!\begin{aligned} & w_t=Dw-\frac{18r}R\sin2t-\frac{4r}R\cos2t \\ & \left.w\right|_{t=0}=0 \\ & \left.w\right|_{r=R}=0 \end{aligned}\right.[/math] 3. Далее придется искать решение в виде ряда по собственным функциям оператора [math]D[/math]. Соответствующая задача приводит к уравнению Бесселя: [math]r^2f''+rf'+((\lambda-9)r^2-1)f=0[/math] Ограниченное в цилиндре решение, имеющее положительный корень, будет только в случае [math]\lambda>9[/math] и имеет вид [math]J_1\left(\sqrt{\lambda-9}r\right)[/math] - функция Бесселя первого рода порядка 1. Учитывая краевое условие, находим связь между нулями функции Бесселя и параметром [math]\lambda[/math]: [math]\lambda_n=9+\left(\frac{\mu_{1n}}R\right)^2[/math], [math]\mu_{1n}[/math] - [math]n[/math]-ый положительный корень функции [math]J_1(x)[/math]. 4. Подставляя [math]w(t,r)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)J_1\left(\frac{\mu_{1n}}Rr\right)[/math] в уравнение и пользуясь ортогональностью функций Бесселя приходим к следующим задачам Коши для определения [math]T_n(t)[/math]: [math]\left\{\!\begin{aligned} & T_n'+\lambda_nT_n=-C_n(18\sin2t+4\cos2t) \\ & \left.T_n\right|_{t=0}=0 \end{aligned}\right.[/math] где [math]C_n=\frac2{J_2^2(\mu_{1n})}\int\limits_0^1x^2J_1(\mu_{1n}x)\,dx[/math]. Общее решение однородного уравнения очевидно, а частное ищется в виде [math]T_n(t)=A_n\cos2t+B_n\sin2t[/math] - это все уже сами сделаете. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разделение переменных, замена переменных
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
363 |
23 май 2015, 11:26 |
|
Разделение переменных
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
290 |
13 май 2015, 14:45 |
|
Разделение переменных в дифференциальных уравнениях
в форуме Размышления по поводу и без |
10 |
601 |
01 окт 2018, 12:20 |
|
Уравнение Лапласа | 2 |
418 |
10 мар 2018, 09:29 |
|
Уравнение Лапласа | 7 |
389 |
24 дек 2020, 13:23 |
|
Дифференциальное уравнение Лапласа | 0 |
261 |
02 окт 2016, 13:12 |
|
Неоднородное уравнение Лапласа | 5 |
789 |
03 апр 2014, 20:58 |
|
УМФ. Задача на уравнение Лапласа | 0 |
265 |
02 янв 2017, 10:53 |
|
Уравнение лапласа с краевыми условиями
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
265 |
13 окт 2015, 12:53 |
|
Вектора в трехмерном пространстве
в форуме Механика |
1 |
317 |
17 ноя 2018, 12:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |