Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Метод исключения неизвестных функций http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=44432 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Arno [ 01 ноя 2015, 17:18 ] |
Заголовок сообщения: | Метод исключения неизвестных функций |
Здравствуйте! Как решить эту систему уравнений методом исключения неизвестных функций? Как ни выражаю, не получается получить характеристическое уравнение( Помогите, пожалуйста! |
Автор: | michel [ 01 ноя 2015, 19:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Проще всего выделить z: дифференцируем третье уравнение и подставляем первые производные: [math]z''=3x-y+3z[/math], ещё раз повторим эту процедуру: [math]z'''=3x-y+z[/math] (счастливый случай, коэффициенты при х и у - одинаковые). Теперь просто возьмем разность этих уравнений и получим: [math]z'''-z''+2z=0[/math]. А в общем случае просто получается система линейных уравнений для х, у, z, где в правой части стоят производные: [math]z', z'', z'''[/math]. Т.е. после решения уравнения третьего порядка для z, остальные неизвестные функции выразятся как линейные комбинации производных [math]z', z'', z'''[/math]. А общее решение для z следующее: [math]z=a \cdot e^{-t}+e^t(b \cdot cost+i \cdot c \cdot sint)[/math] |
Автор: | Arno [ 01 ноя 2015, 22:50 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Не могу понять, как найти z? Я решил характеристическое уравнение, там получился корень -1. А что дальше? в последней строке вы написали общее решение, откуда оно? |
Автор: | Arno [ 01 ноя 2015, 22:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Я так понимаю, там комплексные числа... |
Автор: | michel [ 02 ноя 2015, 10:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Arno писал(а): Не могу понять, как найти z? Я решил характеристическое уравнение, там получился корень -1. А что дальше? в последней строке вы написали общее решение, откуда оно? Характеристическое уравнение: [math]\lambda ^3- \lambda ^2+1=0[/math] имеет корни [math]\lambda _1=-1, \lambda _2=1-i, \lambda_3=1+i[/math]. Т.е. получаем три базовые функции: [math]z_1=e^{-t},z_2=e^{(1+i)t},z_3=e^{(1-i)t}[/math], последние две обычно заменяют на синусы и косинусы: [math]z_2=e^tcost,z_3=ie^tsint[/math] |
Автор: | pewpimkin [ 02 ноя 2015, 16:03 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Не совсем , может быть, рационально, но должно быть правильно |
Автор: | michel [ 02 ноя 2015, 19:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Характеристические уравнения у нас совпали, но в строке для x(t) Вы пропустили мнимую единицу перед sin(t). |
Автор: | pewpimkin [ 02 ноя 2015, 19:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Никаких мнимых единиц в этом решении нет (и перед синусом (t) ее не должно быть) и так нормально. Ни в одном ответе на дифуравнения я их не видел |
Автор: | pewpimkin [ 02 ноя 2015, 19:23 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Ну, как здесь , например |
Автор: | michel [ 02 ноя 2015, 21:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Метод исключения неизвестных функций |
Согласен, хотя бы потому, что мнимая единица - постоянное число и её всегда можно спрятать внутри константы. А так мнимая единица формально вылезает, если избавляться от экспонент с помощью известных формул для синуса и косинуса: [math]cost=\frac{ e^{it}+e^{-it} }{ 2 } , sint=\frac{ e^{it}+e^{-it} }{ 2i }[/math] |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |