Математический форум Math Help Planet

Здравствуйте!
Как решить эту систему уравнений методом исключения неизвестных функций?

Как ни выражаю, не получается получить характеристическое уравнение(
Помогите, пожалуйста!

Проще всего выделить z: дифференцируем третье уравнение и подставляем первые производные: [math]z''=3x-y+3z[/math], ещё раз повторим эту процедуру: [math]z'''=3x-y+z[/math] (счастливый случай, коэффициенты при х и у - одинаковые). Теперь просто возьмем разность этих уравнений и получим: [math]z'''-z''+2z=0[/math]. А в общем случае просто получается система линейных уравнений для х, у, z, где в правой части стоят производные: [math]z', z'', z'''[/math]. Т.е. после решения уравнения третьего порядка для z, остальные неизвестные функции выразятся как линейные комбинации производных [math]z', z'', z'''[/math].
А общее решение для z следующее: [math]z=a \cdot e^{-t}+e^t(b \cdot cost+i \cdot c \cdot sint)[/math]

Не могу понять, как найти z?
Я решил характеристическое уравнение, там получился корень -1.
А что дальше? в последней строке вы написали общее решение, откуда оно?

Я так понимаю, там комплексные числа...

Характеристическое уравнение: [math]\lambda ^3- \lambda ^2+1=0[/math] имеет корни [math]\lambda _1=-1, \lambda _2=1-i, \lambda_3=1+i[/math]. Т.е. получаем три базовые функции: [math]z_1=e^{-t},z_2=e^{(1+i)t},z_3=e^{(1-i)t}[/math], последние две обычно заменяют на синусы и косинусы: [math]z_2=e^tcost,z_3=ie^tsint[/math]

Не совсем , может быть, рационально, но должно быть правильно

Характеристические уравнения у нас совпали, но в строке для x(t) Вы пропустили мнимую единицу перед sin(t).

Никаких мнимых единиц в этом решении нет (и перед синусом (t) ее не должно быть) и так нормально. Ни в одном ответе на дифуравнения я их не видел

Ну, как здесь , например

Согласен, хотя бы потому, что мнимая единица - постоянное число и её всегда можно спрятать внутри константы. А так мнимая единица формально вылезает, если избавляться от экспонент с помощью известных формул для синуса и косинуса: [math]cost=\frac{ e^{it}+e^{-it} }{ 2 } , sint=\frac{ e^{it}+e^{-it} }{ 2i }[/math]