Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
daranton |
|
|
Решить методом Фурье уравнение теплопроводности на данном отрезке при заданном начальном условии и граничных условиях [math]V(0,t)=V(l,t)=0[/math]. [math]V'_t=49V''_{xx}, \quad V(x,0)=\begin{cases}\dfrac{x}{56},&{0}\leqslant{x}<{35};\\[8pt]\dfrac{70-x}{56},&{35}\leqslant{x}\leqslant{70}.\end{cases}[/math] Рисунок или чертёж с объяснением и распишите пожалуйста с объяснением что куда подставляем и как что получаем? Пытался сам решать и ничего не получается. Какая формулв ряда Фурье в данном случае? Это очень важно. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
В скрине граничные условия выглядят так [math]V(0,t)=V(l,t)[/math]. [math]l[/math] нужно выбирать согласно начальному условию задачи. Для Вашего варианта [math]l=70[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: daranton |
||
daranton |
|
|
erjoma
А что такое скрин? И почему 70? |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
ну началось!
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: daranton |
||
Prokop |
|
|
daranton, как Вас учили методу Фурье (разделению переменных)? С чего Вы начинали решать задачу?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: daranton |
||
daranton |
|
|
Prokop
Да, уравнение нужно составлять сначала в частных производных? Помогите, пожалуйста, начать? Что первым делом? |
||
Вернуться к началу | ||
lexus666 |
|
|
Метод разделения переменных. Представляем искомую функцию в виде [math]u(x,t)=X(x)T(t)[/math], подставляя в уравнение теплопроводности и получаем:
[math]X(x)T'(t)=49T(t)X''(x)\to \frac{T'}{49T}=\frac{X''}{X}=-\lambda, \lambda>0[/math] Получается 2 уравнения относительно функций [math]T(t)[/math] и [math]X(x)[/math]: 1) [math]X''+\lambda X=0, X(0)=X(l)=0[/math] Решение [math]X(x)=A\operatorname{sin}(\sqrt{\lambda}x)+B\operatorname{cos}(\sqrt{\lambda}x)[/math] из граничных условий находим [math]B=0[/math] и [math]\sqrt{\lambda_n}=\frac{n\pi}{l}, n=1,2,...[/math] таким образом [math]X_n(x)=A_n\operatorname{sin}(\sqrt{\lambda_n}x)[/math] 2) [math]T'_n(t)=-49\lambda_nT(t)\to T_n(t)=C_n\operatorname{e}^{-49\lambda_nt}[/math] Решение искомого уравнения представляется в виде [math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\operatorname{e}^{-49\lambda_nt}\operatorname{sin}(\sqrt{\lambda_n}x)[/math], где [math]\alpha_n=C_nA_n[/math] находится из начальных условий по формуле: [math]\alpha_n=\frac{\int_0^l u(x,o)X_n(x)dx}{\int_0^l X_n^2(x)dx}=\frac{2}{l}\left(\int_0^{35}\frac{x}{56}X_n(x)dx+\int_{35}^{70}\frac{70-x}{56}X_n(x)dx\right)[/math] Ну а дальше вы уж сами проинтегрируйте |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю lexus666 "Спасибо" сказали: Alexdemath, doktorblack, valentina |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Уравнение теплопроводности методом фурье | 1 |
318 |
09 фев 2018, 21:58 |
|
Решить уравнение теплопроводности
в форуме Численные методы |
2 |
544 |
23 дек 2021, 18:28 |
|
Решить уравнение теплопроводности явной схемой
в форуме MathCad |
1 |
621 |
09 май 2015, 00:06 |
|
Решить неоднородное уравнение теплопроводности с краевыми | 0 |
523 |
22 окт 2017, 21:17 |
|
Решить методом Фурье | 1 |
290 |
20 май 2018, 16:58 |
|
Волновое уравнение методом Фурье | 0 |
170 |
24 янв 2019, 17:16 |
|
Уравнение Лапласа в полярных координатах методом Фурье | 0 |
163 |
22 сен 2019, 14:41 |
|
Решить диф.уравнение методом Бернулли | 0 |
216 |
11 окт 2015, 14:55 |
|
Решить уравнение методом Тейлора
в форуме Ряды |
2 |
264 |
03 ноя 2017, 14:50 |
|
Решить уравнение методом Эйлера
в форуме Численные методы |
16 |
819 |
28 окт 2017, 13:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |