Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
fisher74 |
|
|
Дано. [math]U_{xx}-2U_{xy}-3U_{yy}=0[/math] При начальных условиях [math]U(x,0)=3x^2[/math] [math]U_y(x,0)=0[/math] Как я понял нужно привести уравнение к каноническому виду. Поехали Решение На самом деле, когда начинал писать была проблема с самим переводом к каноническому виду (гиперболический тип) Но пока писал на "птичьем" языке, нашёл ошибку в черновике и всё-таки вышел на правильный вид. Получилось при подмене новыми переменными [math]\xi = y+3x, \eta = y-x[/math] [math]U_{\xi\eta}=0[/math] Признаться, даже не много опешил от такой "простоты", но перепроверил 2 раза - так и есть. Что с этим дальше делать, что-то не вкуриваю. Толкните... |
||
Вернуться к началу | ||
fisher74 |
|
|
[math]\xi(x,0) = y+3x[/math]
[math]\xi(x,0) = 3x[/math] [math]\eta (x,0) = y-x[/math] [math]\eta (x,0) = -x[/math] Не уверен, что правильный путь.... Да и дороги не вижу... |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Из равенства
[math]{U_{\xi \eta}}= 0[/math] следует, что [math]U = f\left( \xi \right) + g\left( \eta \right)[/math] Поэтому [math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right)[/math] Далее [math]{u_y}\left({x,y}\right) = f'\left({y + 3x}\right) + g'\left({y - x}\right)[/math] Положим [math]y=0[/math]. Получим систему уравнений для нахождения функций [math]f[/math] и [math]g[/math] [math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f'\left({3x}\right) + g'\left({- x}\right) = 0}\end{array}}\right.[/math] Далее, надо проинтегрировать второе уравнение. Получим [math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{\frac{1}{3}f\left({3x}\right) - g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math] Осталось аккуратно решить линейную систему уравнений и найти функции [math]f[/math] и [math]g[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: fisher74 |
||
fisher74 |
|
|
Спасибо огромное.
Всё понял. Логика решения теперь понятна. Респект и уважуха. |
||
Вернуться к началу | ||
fisher74 |
|
|
[math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f\left({3x}\right) - 3g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math]
[math]4g\left({- x}\right) = 3{x^2} + C[/math] [math]g(-x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math] Определим f(3x) [math]f(3x) + (\frac{3x^2}{4}+ C) = 3x^2[/math] [math]f(3x) = 3x^2 - \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]f(3x) = \frac{12x^2}{4} - \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]f(3x) = \frac{9x^2}{4} + C[/math] Я правильно понимаю, что [math]g(x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math] [math]f(x) = \frac{x^2}{4} + C[/math] ? Пробую подставить [math]U(x,0) = \frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]U(x,0) = \frac{12x^2}{4} + C[/math] [math]U(x,0) = 3x^2 + C[/math] Выходит, что C = 0 И снова в тупике, хоть стреляйте. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Ошибка в знаке.
[math]f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}- C[/math] Далее, [math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right) = \frac{{{{\left({y + 3x}\right)}^2}}}{4}- C + \frac{3}{4}{\left({y - x}\right)^2}+ C = 3{x^2}+{y^2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: fisher74 |
||
fisher74 |
|
|
Ну ошибка практически преднамеренная, так как отложилось, что С может быть любого знака.
Только не учёл, что для обеих функций его нужно сохранять. По финальному аккорду решения: Ещё раз спасибо. Но что-то непонятно как это получилось... Точнее что куда встало понятно, но не понял как это происходит. Сижу, пытаюсь осмыслить. Вроде прорисовывается, но кажется костылём. f(x) есть f(x,y), поэтому.... Вроде осознал. Спасибо. Тему можно закрывать. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
ДУ в частных производных. Задача Коши | 1 |
604 |
07 июл 2014, 22:16 |
|
Задача в частных производных | 5 |
471 |
09 дек 2014, 22:04 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных | 0 |
187 |
10 дек 2020, 16:08 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных | 3 |
244 |
08 май 2022, 13:39 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных | 1 |
234 |
01 окт 2017, 13:03 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных | 0 |
209 |
08 июл 2020, 13:26 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных | 8 |
679 |
30 окт 2017, 17:04 |
|
Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных | 3 |
486 |
09 май 2016, 14:13 |
|
Дифференциальное уравнение в частных производных. Фил. №1178 | 3 |
174 |
25 май 2022, 11:45 |
|
Уравнение в частных производных с пятью переменными | 0 |
312 |
02 сен 2014, 11:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |