| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнения в частных производных http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36618 |
Страница 3 из 3 |
| Автор: | fisher74 [ 10 ноя 2014, 21:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Как всегда: высказал вслух проблему и .... как говорит одна моя сослуживица - "пока объясняла - сама поняла" Пока отложил в сторону перевод в уравнения в канонический вид на прямых x=0 и y=0 и углубился в гиперболическую область. Прошу пока не перебивать, так как на latex-е формулы ваять - тот ещё фокус. А пока мысль развернулась надо держаться её |
|
| Автор: | fisher74 [ 10 ноя 2014, 21:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
итак. В области гиперболичности ввожу дополнительные переменные [math]\xi = xy, \eta = \frac{y}{x^3}[/math] Находим их частные произодные [math]\xi_x = y, \xi_y = x[/math] [math]\xi_{xx} = 0, \xi_{yy} = 0[/math] [math]\xi_{xy} = 1[/math] [math]\eta_x = y(-3x^{-4})=-\frac{3y}{x^4}[/math] [math]\eta_y = \frac{1}{x^3}[/math] [math]\eta_{xx} = -3y\cdot (-4)x^{-5}=\frac{12y}{x^5}[/math] [math]\eta_{yy} = 0[/math] [math]\eta_{xy} = -3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}[/math] (вроде правильно продифференцировал - на онлайн-калькуляторах не проверял) |
|
| Автор: | fisher74 [ 10 ноя 2014, 22:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Используя правило дифференцирования сложной функции получаем [math]\mathit{u}_x=\upsilon_\xi\cdot y+\upsilon_\eta\cdot(-\frac{3y}{x^4})[/math] [math]\mathit{u}_y=\upsilon_\xi\cdot x+\upsilon_\eta\cdot(\frac{1}{x^3})[/math] [math]\mathit{u}_{xx}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot y^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot y(-\frac{3y}{x^4})+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (-\frac{3y}{x^4})^2+\upsilon_\xi\cdot 0 + \upsilon_\eta\cdot \frac{12y}{x^5}[/math] [math]\mathit{u}_{xx}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot y^2-6\upsilon_{\xi\eta}\cdot \frac{y^2}{x^4}+9\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{y^2}{x^8}+12\upsilon_\eta\cdot \frac{y}{x^5}[/math] [math]\mathit{u}_{yy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot x^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot x\frac{1}{x^3}+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (\frac{1}{x^3})^2+\upsilon_\xi\cdot 0 + \upsilon_\eta\cdot 0[/math] [math]\mathit{u}_{yy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot x^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot \frac{1}{x^2}+\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{1}{x^6}[/math] [math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot yx+\upsilon_{\xi\eta}\cdot (y\frac{1}{x^3}+x\cdot(-\frac{3y}{x^4}))+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (-\frac{3y}{x^4}\cdot \frac{1}{x^3})+\upsilon_\xi\cdot 1 + \upsilon_\eta\cdot (-\frac{3}{x^4})[/math] [math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot xy+\upsilon_{\xi\eta}\cdot (\frac{y}{x^3}-\frac{3y}{x^3})-\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{3y}{x^7}+\upsilon_\xi - \upsilon_\eta\cdot \frac{3}{x^4}[/math] [math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot xy-2\upsilon_{\xi\eta}\cdot (\frac{y}{x^3})-3\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{y}{x^7}+\upsilon_\xi - 3\upsilon_\eta\cdot \frac{1}{x^4}[/math] вроде как-то так. Нигде не напутал? Посмотрите, пожалуйста. А я пока дальше поразбираюсь, что с этим всем делать. А дальше похоже это всё хозяйство нужно подставить в исходное уравнение. Нет. Дальше буду пробовать завтра. Ещё раз заранее спасибо за терпение и помощь. |
|
| Автор: | fisher74 [ 12 ноя 2014, 01:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
так и есть. Подставляем в исходное уравнение. [math]x^2U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math] Получается вот такое [math]x^2\cdot (y^2U_{\xi\xi}-\frac{6y^2}{x^4}U_{\xi\eta}+\frac{9y^2}{x^8}U_{\eta\eta}+\frac{12y}{x^5}U_\eta)+2xy\cdot (xyU_{\xi\xi}-\frac{2y}{x^3}U_{\xi\eta}-\frac{3y}{x^7}U_{\eta\eta}+U_\xi-\frac{3}{x^4}U_\eta)-3y^2\cdot(x^2U_{\xi\xi}+\frac{2}{x^2}U_{\xi\eta}+\frac{1}{x^6}U_{\eta\eta})-2xy(U_\xi-\frac{3}{x^4}U_\eta)+4yx\cdot (U_\xi+\frac{1}{x^4}U_\eta)+16x^4U=0[/math] Во какой монстр... Раскрываем скобки, приводим к общим слагаемым (не буду здесь сорить), в итоге сводится к такому уравнению [math]-16\frac{y^2}{x^2}U_{\fi\eta}+4xyU_\xi+16\frac{y}{x^3}U_\eta+16x^4U=0[/math] делим уравнение на [math](-16\frac{y^2}{x^2}[/math] и получаем [math]U_{\xi\eta}-\frac{x3}{4y}U_\xi-\frac{1}{xy}U_\eta-\frac{x^6}{y^2}U=0[/math] убираем x и y [math]\frac{x^3}{4y}=\frac{1}{4\eta}; \frac{1}{xy}=\frac{1}{\xi}; \frac{x^6}{y^2}=(\frac{x^3}{y})^2=\frac{1}{\eta^2}[/math] В результате получаем исходное уравнение в каноническом виде для участка гипеболоидности [math]U_{\xi\eta}-\frac{1}{4\eta}U_\xi-\frac{1}{\xi}U_\eta-\frac{1}{\eta^2}U=0[/math] |
|
| Автор: | fisher74 [ 12 ноя 2014, 01:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Простите за истерику... Но вроде с самым сложным в этой задаче справился. Осталось теперь решить, что же делать с прямыми x=0 и y=0, т.е с парабалической областью, которая, как Вы говорите, и не область вовсе. Пробовал заюзать x=0 и подставить в исходное уравнение. Получилось [math]-3yU_{yy}+4U_y=0[/math] Но как его привести в канонический вид, что-то пока ума не хватает... Да и не уверен я, что это верный путь. попробовал подменить переменные [math]\xi=xy[/math] [math]\eta=x[/math] тоже не стягивается в канонический вид парабалического типа. Как быть-то? |
|
| Автор: | fisher74 [ 28 ноя 2014, 23:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Вернулся к задаче рассматриваю уравнение на прямой x = 0 повторю егоиз первого поста [math]x^2 U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math] Получаю [math]-3y^2U_{yy}+4yU_y=0[/math] [math]y(-3yU_{yy}+4U_y)=0[/math] [math]-3yU_{yy}+4U_y=0[/math] Характеричтичесеское уравнение [math]-3y\lambda^2+4\lambda=0[/math] [math]\lambda(-3y\lambda+4)=0[/math] [math]\lambda_1=0[/math], [math]\lambda_2 = -\frac{4}{3y}[/math] Получаем [math]U=C_1e^0+C_2e^{-\frac{4}{3y}}[/math] [math]U=C_1+C_2e^{-\frac{4}{3y}}[/math] Уверен, что не так... подставил - не сраслось. С прямой y = 0 вообще треш... [math]x^2 U_{xx}-2xU_x+16x^4U=0[/math] [math]x(x U_{xx}-2U_x+16x^3U)=0[/math] [math]xU_{xx}-2U_x+16x^3U=0[/math] Характеристическое уравнение [math]x\lambda^2-2\lambda+16x^3=0[/math] [math]D = (-2)^2-4x\cdot16x^3 = 4 - 64x^4[/math] корень извлечь не представляю как... другой вариант решения тоже не вижу... |
|
| Автор: | fisher74 [ 09 дек 2014, 18:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Кажется я вьехал... [math]-3y^2U_{yy}+4yU_y=0[/math] [math]x^2 U_{xx}-2xU_x+16x^4U=0[/math] уже приведены к каноническому виду, так как соответствуют [math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=F(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})[/math] [math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=F(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})[/math] Так ли... нет...? Развейте сомнения? А то контрольную уже завтра надо показывать. В группе свериться не с кем все у меня фотают
|
|
| Страница 3 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|