| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнения в частных производных http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36618 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | fisher74 [ 09 ноя 2014, 00:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнения в частных производных |
Вроде не промахнулся веткой. Студент-переросток заочной формы. Всё-таки всё нужно делать вовремя.... Начитка лекций стремится к нулю, а по учебникам многое понимается с большой проблемой, ещё и учитывая возраст. Контрольную по тер.вер. осилил, теперь с матаном надо разобраться. Возможно для решения выбрал неправильный вектор... короче, поправьте и дайте напутствие Задание: определить тип уравнения и привести к каноническому виду. [math]x^2 U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math] Решение: Его характеристической квадратичной формой является выражение (не знаю как лямбду залепить - заменил на L, извините) [math]Q(L_1,L_2)=x^2L_1^2+2xyL_1L_2-3y^2L_2^2[/math] Дискриминант квадратичной формы равен (тоже дельту на D заменил) [math]D=-\left(\begin{array}{*{20}{c}}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\\\end{array}\right)[/math] [math]D=a^2_{12}-a_{11}a_{22}[/math] [math]D=(xy)^2-x^2(-3y^2)=(xy)^2+3(xy)^2=4x^2y^2[/math] Так как на прямых х=0 или y=0 дискриминант равен 0, то тип уравнения на них - параболический На остальных участках дискриминант положительный, а значит тип уравнения - гиперболический. Составим характеристические уравнения [math]\frac{dy}{{dx}}=\frac{a_{12}+_-\sqrt{D}}{a_{11}}[/math] [math]\frac{dy}{{dx}}=\frac{xy+_-\sqrt{4x^2y^2}}{x^2}=\frac{xy+_-2xy}{x^2}=\frac{y+_-2y}{x}[/math] [math]\frac{dy}{y+_-2y}=\frac{dx}{x}[/math] Прерываюсь до завтра. Устал писать на птичьем языке, так как редактор формул у меня почему-то не работает (или не научился) потому формулы пишу как BB-кодами Знающие, посмотрите пока - в тот ли лес меня тропинка ведёт? Заранее спасибо. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 ноя 2014, 09:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Пока всё правильно. В области гиперболичности введёте две новые переменные Например, [math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{{{x^3}}}[/math] |
|
| Автор: | fisher74 [ 09 ноя 2014, 16:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Спасибо. До этого нужно ещё добраться Так... Определяем первые производные для области гиперболичности Пришлось поморщить лоб и полистать собранные материалы прошлой сессии прежде чем понять, что уравнение одно из простейших [math]\frac{dy}{y+_-2y}=\frac{dx}{x}[/math] Уравнение с разделяющимися переменными 1. [math]\frac{dy}{y+2y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{dy}{3y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]\int\frac{dy}{3y}=\int\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{1}{3}\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{1}{3}ln|y|=ln|x|+C[/math] [math]ln|y|=3ln|x|+3C[/math] [math]ln|y|=3ln|x|+ln|C|[/math] [math]ln|y|=ln|x^3|+ln|C|[/math] [math]y=Cx^3[/math] 2. [math]\frac{dy}{y-2y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{dy}{-y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]-\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]-\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math] [math]-ln|y|=ln|x|+C[/math] [math]ln|x|+ln|y|=ln|C|[/math] [math]xy=C[/math] [math]y=\frac{C}{x}[/math] Вот кажется я и вышел на новые переменные. [math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math] До этого не совсем понимал откуда они берутся Правда и что с ними делать пока не разобрался... Кстати, не понятно как быть с параболическими областями. Я правильно понимаю, что для y=0 - С=0 для любого x? И тоже самое с x=0 => C=0 для любого y? Т.е. для этих областей [math]\xi = x[/math], [math]\eta = y[/math] |
|
| Автор: | fisher74 [ 09 ноя 2014, 16:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
У меня есть ощущение, что я последовательность нарушил... Подумал и решил интегрировать в общем виде [math]\frac{dy}{y\pm2y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{dy}{(1\pm2)y}=\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{1}{1\pm2}\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math] [math]\frac{1}{1\pm2}ln|y|=ln|x|+C[/math] [math]ln|y|=(1\pm2)ln|x|+ln|C|[/math] [math]y=Cx^{(1\pm2)}[/math] А потом уже идти по разным областям |
|
| Автор: | erjoma [ 09 ноя 2014, 17:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
fisher74 писал(а): Вот кажется я и вышел на новые переменные. [math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math] До этого не совсем понимал откуда они берутся Правда и что с ними делать пока не разобрался... Используя правило дифференцирования сложной функции нужно выразить частные производные первого и второго порядка по [math]x,y[/math] через новые переменные. fisher74 писал(а): Кстати, не понятно как быть с параболическими областями. Я правильно понимаю, что для y=0 - С=0 для любого x? И тоже самое с x=0 => C=0 для любого y? Т.е. для этих областей [math]\xi = x[/math], [math]\eta = y[/math] Мне то же непонятно. Но при подстановке [math]x=0[/math] или [math]y=0[/math] в исходное уравнение, приходим к обычным дифференциальным уравнениям. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 ноя 2014, 17:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Точки, в которых дискриминант равен 0, не образуют область (это прямые линии). Поэтому там нельзя выполнить невырожденную замену переменных. |
|
| Автор: | fisher74 [ 09 ноя 2014, 17:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
На прямой y=0 получаем [math]y=Cx^{(1\pm2)} => 0=Cx^{(1\pm2)} => C=0[/math] Так же для прямой x=0 [math]y=Cx^{(1\pm2)} => y=C\cdot 0^{(1\pm2)} => C=0[/math] Таким образом [math]\delta(x,y)=0[/math] Вроде так получается в параболической области. А гиперболической те самые [math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math] Всё, окончательно понял как на них выйти erjoma, спасибо. сейчас буду разбираться с подменами и выражениями. Вроде что-то маячит в голове, но ясности нет. |
|
| Автор: | fisher74 [ 09 ноя 2014, 17:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Prokop писал(а): не образуют область (это прямые линии) Но это же область определения уравнения? Или я смешал понятия? Я просто в контрольной, кроме кучи цифр и значков ещё и сам процесс описываю, не столько для преподавателя, сколько для себя. |
|
| Автор: | erjoma [ 09 ноя 2014, 17:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Prokop писал(а): Точки, в которых дискриминант равен 0, не образуют область (это прямые линии). Поэтому там нельзя выполнить невырожденную замену переменных. Когда я учился этот пункт как-то пропускался без объяснения(или я пропускал мимо ушей ).
|
|
| Автор: | Prokop [ 09 ноя 2014, 18:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнения в частных производных |
Обратите внимание на то, что на этих прямых некоторые коэффициенты при старших производных уравнения обращаются в нуль. Это влечёт за собой особенности решений этого уравнения. Нет такого понятия "область определения уравнения". Выполните замену переменных вне этих прямых. |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|