Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнения в частных производных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36618
Страница 1 из 3

Автор:  fisher74 [ 09 ноя 2014, 00:33 ]
Заголовок сообщения:  Уравнения в частных производных

Вроде не промахнулся веткой.
Студент-переросток заочной формы. Всё-таки всё нужно делать вовремя....
Начитка лекций стремится к нулю, а по учебникам многое понимается с большой проблемой, ещё и учитывая возраст.
Контрольную по тер.вер. осилил, теперь с матаном надо разобраться.

Возможно для решения выбрал неправильный вектор... короче, поправьте и дайте напутствие
Задание: определить тип уравнения и привести к каноническому виду.
[math]x^2 U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math]

Решение:
Его характеристической квадратичной формой является выражение (не знаю как лямбду залепить - заменил на L, извините)
[math]Q(L_1,L_2)=x^2L_1^2+2xyL_1L_2-3y^2L_2^2[/math]
Дискриминант квадратичной формы равен (тоже дельту на D заменил)
[math]D=-\left(\begin{array}{*{20}{c}}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\\\end{array}\right)[/math]
[math]D=a^2_{12}-a_{11}a_{22}[/math]
[math]D=(xy)^2-x^2(-3y^2)=(xy)^2+3(xy)^2=4x^2y^2[/math]
Так как на прямых х=0 или y=0 дискриминант равен 0, то тип уравнения на них - параболический
На остальных участках дискриминант положительный, а значит тип уравнения - гиперболический.

Составим характеристические уравнения
[math]\frac{dy}{{dx}}=\frac{a_{12}+_-\sqrt{D}}{a_{11}}[/math]
[math]\frac{dy}{{dx}}=\frac{xy+_-\sqrt{4x^2y^2}}{x^2}=\frac{xy+_-2xy}{x^2}=\frac{y+_-2y}{x}[/math]
[math]\frac{dy}{y+_-2y}=\frac{dx}{x}[/math]


Прерываюсь до завтра. Устал писать на птичьем языке, так как редактор формул у меня почему-то не работает (или не научился) потому формулы пишу как BB-кодами
Знающие, посмотрите пока - в тот ли лес меня тропинка ведёт?
Заранее спасибо.

Автор:  Prokop [ 09 ноя 2014, 09:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Пока всё правильно. В области гиперболичности введёте две новые переменные
Например,
[math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{{{x^3}}}[/math]

Автор:  fisher74 [ 09 ноя 2014, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Спасибо. До этого нужно ещё добраться

Так...
Определяем первые производные для области гиперболичности

Пришлось поморщить лоб и полистать собранные материалы прошлой сессии прежде чем понять, что уравнение одно из простейших
[math]\frac{dy}{y+_-2y}=\frac{dx}{x}[/math]
Уравнение с разделяющимися переменными
1. [math]\frac{dy}{y+2y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{dy}{3y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]\int\frac{dy}{3y}=\int\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{1}{3}\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{1}{3}ln|y|=ln|x|+C[/math]
[math]ln|y|=3ln|x|+3C[/math]
[math]ln|y|=3ln|x|+ln|C|[/math]
[math]ln|y|=ln|x^3|+ln|C|[/math]
[math]y=Cx^3[/math]

2. [math]\frac{dy}{y-2y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{dy}{-y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]-\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]-\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math]
[math]-ln|y|=ln|x|+C[/math]
[math]ln|x|+ln|y|=ln|C|[/math]
[math]xy=C[/math]
[math]y=\frac{C}{x}[/math]

Вот кажется я и вышел на новые переменные.
[math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math]
До этого не совсем понимал откуда они берутся
Правда и что с ними делать пока не разобрался...

Кстати, не понятно как быть с параболическими областями.
Я правильно понимаю, что для y=0 - С=0 для любого x?
И тоже самое с x=0 => C=0 для любого y?
Т.е. для этих областей
[math]\xi = x[/math], [math]\eta = y[/math]

Автор:  fisher74 [ 09 ноя 2014, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

У меня есть ощущение, что я последовательность нарушил...

Подумал и решил интегрировать в общем виде
[math]\frac{dy}{y\pm2y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{dy}{(1\pm2)y}=\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{1}{1\pm2}\int\frac{dy}{y}=\int\frac{dx}{x}[/math]
[math]\frac{1}{1\pm2}ln|y|=ln|x|+C[/math]
[math]ln|y|=(1\pm2)ln|x|+ln|C|[/math]
[math]y=Cx^{(1\pm2)}[/math]

А потом уже идти по разным областям

Автор:  erjoma [ 09 ноя 2014, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

fisher74 писал(а):
Вот кажется я и вышел на новые переменные.
[math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math]
До этого не совсем понимал откуда они берутся
Правда и что с ними делать пока не разобрался...



Используя правило дифференцирования сложной функции нужно выразить частные производные первого и второго порядка по [math]x,y[/math] через новые переменные.

fisher74 писал(а):

Кстати, не понятно как быть с параболическими областями.
Я правильно понимаю, что для y=0 - С=0 для любого x?
И тоже самое с x=0 => C=0 для любого y?
Т.е. для этих областей
[math]\xi = x[/math], [math]\eta = y[/math]

Мне то же непонятно. Но при подстановке [math]x=0[/math] или [math]y=0[/math] в исходное уравнение, приходим к обычным дифференциальным уравнениям.

Автор:  Prokop [ 09 ноя 2014, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Точки, в которых дискриминант равен 0, не образуют область (это прямые линии). Поэтому там нельзя выполнить невырожденную замену переменных.

Автор:  fisher74 [ 09 ноя 2014, 17:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

На прямой y=0 получаем
[math]y=Cx^{(1\pm2)} => 0=Cx^{(1\pm2)} => C=0[/math]
Так же для прямой x=0
[math]y=Cx^{(1\pm2)} => y=C\cdot 0^{(1\pm2)} => C=0[/math]
Таким образом
[math]\delta(x,y)=0[/math]
Вроде так получается в параболической области.

А гиперболической те самые
[math]\xi = xy[/math], [math]\eta = \frac{y}{x^3}[/math]
Всё, окончательно понял как на них выйти

erjoma, спасибо. сейчас буду разбираться с подменами и выражениями. Вроде что-то маячит в голове, но ясности нет.

Автор:  fisher74 [ 09 ноя 2014, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Prokop писал(а):
не образуют область (это прямые линии)

Но это же область определения уравнения? Или я смешал понятия?
Я просто в контрольной, кроме кучи цифр и значков ещё и сам процесс описываю, не столько для преподавателя, сколько для себя.

Автор:  erjoma [ 09 ноя 2014, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Prokop писал(а):
Точки, в которых дискриминант равен 0, не образуют область (это прямые линии). Поэтому там нельзя выполнить невырожденную замену переменных.


Когда я учился этот пункт как-то пропускался без объяснения(или я пропускал мимо ушей :) ).

Автор:  Prokop [ 09 ноя 2014, 18:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнения в частных производных

Обратите внимание на то, что на этих прямых некоторые коэффициенты при старших производных уравнения обращаются в нуль. Это влечёт за собой особенности решений этого уравнения. Нет такого понятия "область определения уравнения".
Выполните замену переменных вне этих прямых.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/