Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2014, 21:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как всегда: высказал вслух проблему и .... как говорит одна моя сослуживица - "пока объясняла - сама поняла"
Пока отложил в сторону перевод в уравнения в канонический вид на прямых x=0 и y=0 и углубился в гиперболическую область.
Прошу пока не перебивать, так как на latex-е формулы ваять - тот ещё фокус.
А пока мысль развернулась надо держаться её

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2014, 21:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
итак. В области гиперболичности ввожу дополнительные переменные
[math]\xi = xy, \eta = \frac{y}{x^3}[/math]
Находим их частные произодные
[math]\xi_x = y, \xi_y = x[/math]

[math]\xi_{xx} = 0, \xi_{yy} = 0[/math]

[math]\xi_{xy} = 1[/math]

[math]\eta_x = y(-3x^{-4})=-\frac{3y}{x^4}[/math]
[math]\eta_y = \frac{1}{x^3}[/math]
[math]\eta_{xx} = -3y\cdot (-4)x^{-5}=\frac{12y}{x^5}[/math]
[math]\eta_{yy} = 0[/math]
[math]\eta_{xy} = -3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}[/math]
(вроде правильно продифференцировал - на онлайн-калькуляторах не проверял)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2014, 22:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используя правило дифференцирования сложной функции получаем
[math]\mathit{u}_x=\upsilon_\xi\cdot y+\upsilon_\eta\cdot(-\frac{3y}{x^4})[/math]
[math]\mathit{u}_y=\upsilon_\xi\cdot x+\upsilon_\eta\cdot(\frac{1}{x^3})[/math]

[math]\mathit{u}_{xx}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot y^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot y(-\frac{3y}{x^4})+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (-\frac{3y}{x^4})^2+\upsilon_\xi\cdot 0 + \upsilon_\eta\cdot \frac{12y}{x^5}[/math]
[math]\mathit{u}_{xx}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot y^2-6\upsilon_{\xi\eta}\cdot \frac{y^2}{x^4}+9\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{y^2}{x^8}+12\upsilon_\eta\cdot \frac{y}{x^5}[/math]

[math]\mathit{u}_{yy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot x^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot x\frac{1}{x^3}+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (\frac{1}{x^3})^2+\upsilon_\xi\cdot 0 + \upsilon_\eta\cdot 0[/math]
[math]\mathit{u}_{yy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot x^2+2\upsilon_{\xi\eta}\cdot \frac{1}{x^2}+\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{1}{x^6}[/math]

[math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot yx+\upsilon_{\xi\eta}\cdot (y\frac{1}{x^3}+x\cdot(-\frac{3y}{x^4}))+\upsilon_{\eta\eta}\cdot (-\frac{3y}{x^4}\cdot \frac{1}{x^3})+\upsilon_\xi\cdot 1 + \upsilon_\eta\cdot (-\frac{3}{x^4})[/math]
[math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot xy+\upsilon_{\xi\eta}\cdot (\frac{y}{x^3}-\frac{3y}{x^3})-\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{3y}{x^7}+\upsilon_\xi - \upsilon_\eta\cdot \frac{3}{x^4}[/math]
[math]\mathit{u}_{xy}=\upsilon_{\xi\xi}\cdot xy-2\upsilon_{\xi\eta}\cdot (\frac{y}{x^3})-3\upsilon_{\eta\eta}\cdot \frac{y}{x^7}+\upsilon_\xi - 3\upsilon_\eta\cdot \frac{1}{x^4}[/math]

вроде как-то так.
Нигде не напутал?
Посмотрите, пожалуйста.
А я пока дальше поразбираюсь, что с этим всем делать.
А дальше похоже это всё хозяйство нужно подставить в исходное уравнение.

Нет. Дальше буду пробовать завтра.
Ещё раз заранее спасибо за терпение и помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2014, 01:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
так и есть. Подставляем в исходное уравнение.
[math]x^2U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math]
Получается вот такое
[math]x^2\cdot (y^2U_{\xi\xi}-\frac{6y^2}{x^4}U_{\xi\eta}+\frac{9y^2}{x^8}U_{\eta\eta}+\frac{12y}{x^5}U_\eta)+2xy\cdot (xyU_{\xi\xi}-\frac{2y}{x^3}U_{\xi\eta}-\frac{3y}{x^7}U_{\eta\eta}+U_\xi-\frac{3}{x^4}U_\eta)-3y^2\cdot(x^2U_{\xi\xi}+\frac{2}{x^2}U_{\xi\eta}+\frac{1}{x^6}U_{\eta\eta})-2xy(U_\xi-\frac{3}{x^4}U_\eta)+4yx\cdot (U_\xi+\frac{1}{x^4}U_\eta)+16x^4U=0[/math]
Во какой монстр...
Раскрываем скобки, приводим к общим слагаемым (не буду здесь сорить), в итоге сводится к такому уравнению
[math]-16\frac{y^2}{x^2}U_{\fi\eta}+4xyU_\xi+16\frac{y}{x^3}U_\eta+16x^4U=0[/math]
делим уравнение на [math](-16\frac{y^2}{x^2}[/math]
и получаем
[math]U_{\xi\eta}-\frac{x3}{4y}U_\xi-\frac{1}{xy}U_\eta-\frac{x^6}{y^2}U=0[/math]
убираем x и y
[math]\frac{x^3}{4y}=\frac{1}{4\eta}; \frac{1}{xy}=\frac{1}{\xi}; \frac{x^6}{y^2}=(\frac{x^3}{y})^2=\frac{1}{\eta^2}[/math]

В результате получаем исходное уравнение в каноническом виде для участка гипеболоидности
[math]U_{\xi\eta}-\frac{1}{4\eta}U_\xi-\frac{1}{\xi}U_\eta-\frac{1}{\eta^2}U=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2014, 01:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простите за истерику... Но вроде с самым сложным в этой задаче справился.

Осталось теперь решить, что же делать с прямыми x=0 и y=0, т.е с парабалической областью, которая, как Вы говорите, и не область вовсе.
Пробовал заюзать x=0 и подставить в исходное уравнение.
Получилось
[math]-3yU_{yy}+4U_y=0[/math]
Но как его привести в канонический вид, что-то пока ума не хватает... Да и не уверен я, что это верный путь.
попробовал подменить переменные
[math]\xi=xy[/math]
[math]\eta=x[/math]
тоже не стягивается в канонический вид парабалического типа.
Как быть-то?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2014, 23:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернулся к задаче

рассматриваю уравнение на прямой x = 0
повторю егоиз первого поста
[math]x^2 U_{xx}+2xyU_{xy}-3y^2U_{yy}-2xU_x+4yU_y+16x^4U=0[/math]

Получаю
[math]-3y^2U_{yy}+4yU_y=0[/math]

[math]y(-3yU_{yy}+4U_y)=0[/math]

[math]-3yU_{yy}+4U_y=0[/math]

Характеричтичесеское уравнение
[math]-3y\lambda^2+4\lambda=0[/math]

[math]\lambda(-3y\lambda+4)=0[/math]

[math]\lambda_1=0[/math], [math]\lambda_2 = -\frac{4}{3y}[/math]

Получаем
[math]U=C_1e^0+C_2e^{-\frac{4}{3y}}[/math]

[math]U=C_1+C_2e^{-\frac{4}{3y}}[/math]

Мне кажется, что что-то не так..
Уверен, что не так... подставил - не сраслось. :(

С прямой y = 0 вообще треш...
[math]x^2 U_{xx}-2xU_x+16x^4U=0[/math]

[math]x(x U_{xx}-2U_x+16x^3U)=0[/math]

[math]xU_{xx}-2U_x+16x^3U=0[/math]

Характеристическое уравнение
[math]x\lambda^2-2\lambda+16x^3=0[/math]

[math]D = (-2)^2-4x\cdot16x^3 = 4 - 64x^4[/math]

корень извлечь не представляю как...
другой вариант решения тоже не вижу...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в частных производных
СообщениеДобавлено: 09 дек 2014, 18:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 окт 2014, 22:24
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется я вьехал... :%)
[math]-3y^2U_{yy}+4yU_y=0[/math]
[math]x^2 U_{xx}-2xU_x+16x^4U=0[/math]
уже приведены к каноническому виду, так как соответствуют
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=F(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})[/math]
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=F(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})[/math]

Так ли... нет...?
Развейте сомнения? А то контрольную уже завтра надо показывать.

В группе свериться не с кем :cry: все у меня фотают

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  Страница 3 из 3 [ Сообщений: 27 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тип дифференциального уравнения в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Badsanta

9

499

03 апр 2011, 22:21

Общее решение уравнения в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Leks69

8

467

06 фев 2012, 20:03

Как найти общее решение уравнения в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

LEQADA

19

1235

18 сен 2011, 17:03

Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

mds

1

236

13 дек 2011, 18:40

Уравнения мат.физики, уравнения в частных производных

в форуме Специальные разделы

zeke

2

715

03 июл 2013, 10:51

ДУ в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Sever

1

124

23 мар 2019, 20:01

Свойства частных производных

в форуме Дифференциальное исчисление

DucAnh456

1

141

10 окт 2018, 21:40

Задача в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fisher74

5

353

09 дек 2014, 22:04

Уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

MoskvinAlex

2

326

15 май 2013, 12:33

уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bdfn90

2

405

14 май 2011, 11:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved