Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
lexus666 |
|
|
Видимо, я что-то не понимаю в использовании функции Грина для решения задачи Коши. Есть задача: [math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)u=f(t)[/math] [math]u(0)=u'(0)=0[/math] я хочу ее решить с помощью функции Грина: [math]u(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(t,t')f(t')dt'[/math] для функции Грина получается следующее уравнение: [math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G=\delta(t-t')[/math] с дополнительным условием [math]G=0[/math] при [math]t'>t[/math] (на сколько я понимаю это единственное условие налагаемое на функцию Грина для задачи Коши). Решаю ее 2-мя способами. 1) С помощью преобразования Фурье, делая замену [math]\tau=t-t'[/math]: [math]G(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega[/math] которое после подстановки в исходное уравнение приводит к выражению: [math]G(\tau)=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega \tau}}{\omega^2+a^2}d\omega[/math] интеграл вычисляю с помощью вычетов, в результате получаю ответ: [math]G(\tau)=-\frac{1}{2a}\left\{\begin{array}{ll} e^{-a\tau},\quad \tau>0 \\ e^{a\tau},\quad \tau<0\end{array}\right.[/math] чтобы удовлетворить условию [math]G(-\mid\tau\mid)=0[/math] вычитаю из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math]. В конечном итоге получается: [math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math] 2) Обычными методами: [math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_1=0\to G_1=A_1e^{-at}+B_1e^{at},\quad t<t'[/math] [math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_2=0\to G_2=A_2e^{-at}+B_2e^{at},\quad t>t'[/math] с условием сшивки в точке t': [math]G_1(t=t')=G_2(t=t')[/math] [math]G_2'(t=t')-G_1'(t=t')=1[/math] и дополнительным условием [math]G=0[/math] при t'>t. В результате получаю следующую функцию Грина: [math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math] которая совпадает с решением по первому способу. А теперь сам вопрос. Я искусственно вычил из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math] чтобы функции Грина совпали по первому и второму способу, это нормально? Я не могу найти в литературе решение задач Коши с помощью функции Грина, очень много книг по задачам Дирихле, а вот с Коши нету хорошей литературы. Если кто-нибудь знает литературу по теме, поделитесь пожалуйста! Спасибо! Задам еще один вопрос. Есть задача Дирихле, для векторного поля (в прямоугольной системе координат): [math]\left(\nabla^2+a^2\right)\mathbf{A}(x,y,z)=\mathbf{F}(x,y,z)[/math] с дополнительным условием на границе [math]\mathbf{A}_S=0[/math] и условием калибровки [math]\nabla\cdot\mathbf{A}=f[/math]. Граница области обладает симметрией (цилиндрической например). Понятно, что здесь нужно переходить к системе криволинейных координат [math](x,y,z)\to(\rho,\phi,z)[/math]. Могу ли я при этом оставить запись самого поля в виде [math]\mathbf{A}=A_x(\rho,\phi,z)\mathbf{i}+A_y(\rho,\phi,z)\mathbf{j}+A_z(\rho,\phi,z)\mathbf{k}[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Функция Коши и функция Грина | 2 |
697 |
21 июн 2016, 16:26 |
|
Функция Грина для задачи Дирихле для уравнения Лапласса
в форуме Специальные разделы |
0 |
366 |
30 ноя 2014, 16:20 |
|
М-функция для решения задачи Коши методом ломаных Эйлера
в форуме MATLAB |
0 |
644 |
12 апр 2014, 19:47 |
|
Функция Грина | 1 |
468 |
07 май 2014, 16:33 |
|
Функция Грина | 0 |
135 |
22 ноя 2021, 02:59 |
|
Матрица Грина для краевой задачи | 0 |
166 |
01 дек 2019, 11:55 |
|
Является ли функция аналитичной? условия Коши-Римана | 3 |
173 |
29 июн 2021, 10:51 |
|
Задачи Коши | 2 |
211 |
21 апр 2022, 20:08 |
|
Решение задачи Коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
406 |
12 сен 2014, 11:29 |
|
Решение задачи Коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
414 |
11 май 2021, 08:38 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |