Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция Грина для задачи Коши
СообщениеДобавлено: 06 авг 2014, 16:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1752
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 130
Спасибо получено:
595 раз в 479 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые, форумчане! Нужна ваша помощь.

Видимо, я что-то не понимаю в использовании функции Грина для решения задачи Коши.
Есть задача:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)u=f(t)[/math]
[math]u(0)=u'(0)=0[/math]
я хочу ее решить с помощью функции Грина:

[math]u(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(t,t')f(t')dt'[/math]
для функции Грина получается следующее уравнение:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G=\delta(t-t')[/math]
с дополнительным условием [math]G=0[/math] при [math]t'>t[/math] (на сколько я понимаю это единственное условие налагаемое на функцию Грина для задачи Коши). Решаю ее 2-мя способами.

1) С помощью преобразования Фурье, делая замену [math]\tau=t-t'[/math]:

[math]G(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega[/math]
которое после подстановки в исходное уравнение приводит к выражению:

[math]G(\tau)=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega \tau}}{\omega^2+a^2}d\omega[/math]
интеграл вычисляю с помощью вычетов, в результате получаю ответ:

[math]G(\tau)=-\frac{1}{2a}\left\{\begin{array}{ll} e^{-a\tau},\quad \tau>0 \\ e^{a\tau},\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]
чтобы удовлетворить условию [math]G(-\mid\tau\mid)=0[/math] вычитаю из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math]. В конечном итоге получается:

[math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]

2) Обычными методами:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_1=0\to G_1=A_1e^{-at}+B_1e^{at},\quad t<t'[/math]
[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_2=0\to G_2=A_2e^{-at}+B_2e^{at},\quad t>t'[/math]
с условием сшивки в точке t':

[math]G_1(t=t')=G_2(t=t')[/math]
[math]G_2'(t=t')-G_1'(t=t')=1[/math]
и дополнительным условием [math]G=0[/math] при t'>t. В результате получаю следующую функцию Грина:

[math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]
которая совпадает с решением по первому способу.
А теперь сам вопрос. Я искусственно вычил из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math] чтобы функции Грина совпали по первому и второму способу, это нормально? Я не могу найти в литературе решение задач Коши с помощью функции Грина, очень много книг по задачам Дирихле, а вот с Коши нету хорошей литературы. Если кто-нибудь знает литературу по теме, поделитесь пожалуйста!
Спасибо! :)

Задам еще один вопрос. Есть задача Дирихле, для векторного поля (в прямоугольной системе координат):

[math]\left(\nabla^2+a^2\right)\mathbf{A}(x,y,z)=\mathbf{F}(x,y,z)[/math]
с дополнительным условием на границе [math]\mathbf{A}_S=0[/math] и условием калибровки [math]\nabla\cdot\mathbf{A}=f[/math]. Граница области обладает симметрией (цилиндрической например). Понятно, что здесь нужно переходить к системе криволинейных координат [math](x,y,z)\to(\rho,\phi,z)[/math]. Могу ли я при этом оставить запись самого поля в виде [math]\mathbf{A}=A_x(\rho,\phi,z)\mathbf{i}+A_y(\rho,\phi,z)\mathbf{j}+A_z(\rho,\phi,z)\mathbf{k}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функция Коши и функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Anastasiia2801

2

697

21 июн 2016, 16:26

Функция Грина для задачи Дирихле для уравнения Лапласса

в форуме Специальные разделы

master_zver

0

366

30 ноя 2014, 16:20

М-функция для решения задачи Коши методом ломаных Эйлера

в форуме MATLAB

MAKSUS_87

0

644

12 апр 2014, 19:47

Функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ALINA_7

1

468

07 май 2014, 16:33

Функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Smehota

0

135

22 ноя 2021, 02:59

Матрица Грина для краевой задачи

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

constantin01

0

166

01 дек 2019, 11:55

Является ли функция аналитичной? условия Коши-Римана

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sykes

3

173

29 июн 2021, 10:51

Задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

YuRat

2

211

21 апр 2022, 20:08

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Professor_Genki

4

406

12 сен 2014, 11:29

Решение задачи Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

Miradl

4

414

11 май 2021, 08:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved