Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 26 дек 2010, 22:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 23:36
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер) Вот два уравнения:

1. [math]y''+2y-3y=x^{2}e^{x}[/math] я решил его, вот ответ [math]y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}+\frac{x}{4}(-\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{4}+\frac{1}{8})e^{x}[/math] проверьте его пожалуйста)

2. [math]y''-y=\frac{2e^{x}}{e^{x}-1}+2\sin{x}[/math] вот его я не знаю как решать, вроде надо с помощью квадратур, но я не могу решить этот интеграл

Заранее спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 20:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivan-mafia писал(а):
2. [math]y''-y=\frac{2e^{x}}{e^{x}-1}+2\sin{x}[/math] вот его я не знаю как решать, вроде надо с помощью квадратур, но я не могу решить этот интеграл

Решал через выделения полной производной, ответ проверил в Maple 13.

[math]y''-y=\frac{2e^x}{e^x-1}+2\sin{x}[/math]

[math]y''+y'-(y'+y)=\frac{2e^x}{e^x-1}+2\sin{x}[/math]

[math]e^{-x}(y''+y')-e^{-x}(y'+y)=\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}[/math]

[math]\Bigl(e^{-x}(y'+y)\Bigl)'=\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}[/math]

[math]e^{-x}(y'+y)=\int\!\left(\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}\right)\!dx=2\int\frac{dx}{e^x-1}+2\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}[/math]

[math]\int\frac{dx}{e^x-1}=\int\frac{e^{-x}\,dx}{1-e^{-x}}=\int\frac{d(1-e^{-x})}{1-e^{-x}}=\ln(1-e^{-x})+C=\ln(e^x-1)-x+C[/math]

[math]\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}=-e^{-x}\sin{x}+\int{e^{-x}\cos{x}\,dx}=-e^{-x}\sin{x}-e^{-x}\cos{x}-\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}~\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow~\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}=\frac{-e^{-x}\sin{x}-e^{-x}\cos{x}}{2}=-\frac{e^{-x}}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C[/math]

[math]e^{-x}(y'+y)=2\ln(e^x-1)-2x-e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})+C_1[/math]

[math]e^xy'+e^xy=2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}[/math]

[math]\Bigl(e^xy\Bigl)'=2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}[/math]

[math]e^xy=\int\!\left(2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}\right)\!dx[/math]

[math]2\int{e^{2x}\ln(e^x-1)\,dx}=e^{2x}\ln({e^x}-1)-\int\frac{e^{3x}}{e^x-1}\,dx}=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\frac{e^{3x}-1+1}{e^x-1}\,dx}=[/math]

[math]=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\frac{(e^x-1)(e^{2x}+e^x+1)+1}{e^x-1}\,dx}=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\!\left(e^{2x}+e^x+1+\frac{1}{e^x-1}\right)\!dx=[/math]

[math]=e^{2x}\ln(e^x-1)-\left(\frac{e^{2x}}{2}+e^x+\ln(e^x-1)\right)+C=(e^{2x}-1)\ln(e^x-1)-\frac{e^{2x}}{2}-e^x+C[/math]

[math]\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=e^x(\sin{x}+\cos{x})-\int{e^x(\cos{x}-\sin{x})\,dx}=[/math]

[math]=e^x(\sin{x}+\cos{x})-e^x(\cos{x}-\sin{x})-\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}~\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow~2\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=\frac{e^x}{2}\sin{x}~\Rightarrow~\int{e^{2x}(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=e^x\sin{x}+C[/math]

[math]\int(C_1-2x)e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}(C_1-2x)+\int{e^{2x}\,dx}=\frac{e^{2x}}{2}(C_1-2x)+\frac{e^{2x}}{2}+C=\frac{e^{2x}}{2}(C_1+1-2x)+C[/math]

[math]e^xy=(e^{2x}-1)\ln(e^x-1)-\frac{e^{2x}}{2}-e^x-e^x\sin{x}+\frac{e^{2x}}{2}(C_1+1-2x)+C_2[/math]

[math]\begin{aligned}y&=(e^x-e^{-x})\ln(e^x-1)-\frac{e^x}{2}-1-\sin{x}+\frac{e^x}{2}(C_1+1-2x)+C_2e^{-x}=\\[4pt]&=2\operatorname{sh}x\ln(e^x-1)+\frac{e^x}{2}(C_1-2x)+C_2e^{-x}-\sin{x}-1=\\[4pt]&=2\operatorname{sh}x\ln(e^x-1)+(A-x)e^x+Be^{-x}-\sin{x}-1\end{aligned}[/math]

Всё понятно??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 20:56 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось также, другим способом.Изображение не вставляется почему-то весь вечер

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 20:58 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin

Загрузите сюда gallery/upload.php?album_id=6 изображение, скопируйте ссылку, вставьте её в сообщение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 21:11 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не хочет все равно, слишком высокое разрешение, пишет.А что как было, уже больше не будет вставляться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 21:21 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin

Так разбейте на две картинки, должно получится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 22:05 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вложение:
2222.jpg
2222.jpg [ 301.65 Кб | Просмотров: 62 ]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифуры. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
СообщениеДобавлено: 28 дек 2010, 22:10 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вложение:
12345.jpg
12345.jpg [ 419.34 Кб | Просмотров: 55 ]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальные уравнения высших порядков

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

VICT0R_1945

1

247

30 сен 2016, 22:29

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

dariawinner

1

297

26 июн 2017, 00:43

Линейные неоднородные ОДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Alexysha

1

222

26 дек 2016, 13:45

ЛНДУ высших порядков

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

sova36

1

486

24 дек 2014, 18:24

Дифференциалы высших порядков

в форуме Дифференциальное исчисление

Monroe

1

359

18 май 2014, 20:05

Дифференцирование высших порядков

в форуме Дифференциальное исчисление

Ilya2016

3

347

21 июн 2016, 00:13

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

manoman

2

290

10 июн 2017, 11:39

Производные высших порядков, тождественно равные нулю

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MAdeodata

4

447

07 фев 2017, 18:14

Python: Задача Коши для ДУ высших порядков (Рунге-Кутта)

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Susanna Gaybaryan

1

366

08 ноя 2020, 14:10

Решить методом разложения на одно- и неоднородные уравнения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dragomir

1

210

14 июн 2017, 00:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved