Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
ivan-mafia |
|
||
1. [math]y''+2y-3y=x^{2}e^{x}[/math] я решил его, вот ответ [math]y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}+\frac{x}{4}(-\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{4}+\frac{1}{8})e^{x}[/math] проверьте его пожалуйста) 2. [math]y''-y=\frac{2e^{x}}{e^{x}-1}+2\sin{x}[/math] вот его я не знаю как решать, вроде надо с помощью квадратур, но я не могу решить этот интеграл Заранее спасибо) |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
ivan-mafia писал(а): 2. [math]y''-y=\frac{2e^{x}}{e^{x}-1}+2\sin{x}[/math] вот его я не знаю как решать, вроде надо с помощью квадратур, но я не могу решить этот интеграл Решал через выделения полной производной, ответ проверил в Maple 13. [math]y''-y=\frac{2e^x}{e^x-1}+2\sin{x}[/math] [math]y''+y'-(y'+y)=\frac{2e^x}{e^x-1}+2\sin{x}[/math] [math]e^{-x}(y''+y')-e^{-x}(y'+y)=\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}[/math] [math]\Bigl(e^{-x}(y'+y)\Bigl)'=\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}[/math] [math]e^{-x}(y'+y)=\int\!\left(\frac{2}{e^x-1}+2e^{-x}\sin{x}\right)\!dx=2\int\frac{dx}{e^x-1}+2\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}[/math] [math]\int\frac{dx}{e^x-1}=\int\frac{e^{-x}\,dx}{1-e^{-x}}=\int\frac{d(1-e^{-x})}{1-e^{-x}}=\ln(1-e^{-x})+C=\ln(e^x-1)-x+C[/math] [math]\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}=-e^{-x}\sin{x}+\int{e^{-x}\cos{x}\,dx}=-e^{-x}\sin{x}-e^{-x}\cos{x}-\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}~\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow~\int{e^{-x}\sin{x}\,dx}=\frac{-e^{-x}\sin{x}-e^{-x}\cos{x}}{2}=-\frac{e^{-x}}{2}(\sin{x}+\cos{x})+C[/math] [math]e^{-x}(y'+y)=2\ln(e^x-1)-2x-e^{-x}(\sin{x}+\cos{x})+C_1[/math] [math]e^xy'+e^xy=2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}[/math] [math]\Bigl(e^xy\Bigl)'=2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}[/math] [math]e^xy=\int\!\left(2e^{2x}\ln(e^x-1)-e^x(\sin{x}+\cos{x})+(C_1-2x)e^{2x}\right)\!dx[/math] [math]2\int{e^{2x}\ln(e^x-1)\,dx}=e^{2x}\ln({e^x}-1)-\int\frac{e^{3x}}{e^x-1}\,dx}=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\frac{e^{3x}-1+1}{e^x-1}\,dx}=[/math] [math]=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\frac{(e^x-1)(e^{2x}+e^x+1)+1}{e^x-1}\,dx}=e^{2x}\ln(e^x-1)-\int\!\left(e^{2x}+e^x+1+\frac{1}{e^x-1}\right)\!dx=[/math] [math]=e^{2x}\ln(e^x-1)-\left(\frac{e^{2x}}{2}+e^x+\ln(e^x-1)\right)+C=(e^{2x}-1)\ln(e^x-1)-\frac{e^{2x}}{2}-e^x+C[/math] [math]\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=e^x(\sin{x}+\cos{x})-\int{e^x(\cos{x}-\sin{x})\,dx}=[/math] [math]=e^x(\sin{x}+\cos{x})-e^x(\cos{x}-\sin{x})-\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}~\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow~2\int{e^x(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=\frac{e^x}{2}\sin{x}~\Rightarrow~\int{e^{2x}(\sin{x}+\cos{x})\,dx}=e^x\sin{x}+C[/math] [math]\int(C_1-2x)e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}(C_1-2x)+\int{e^{2x}\,dx}=\frac{e^{2x}}{2}(C_1-2x)+\frac{e^{2x}}{2}+C=\frac{e^{2x}}{2}(C_1+1-2x)+C[/math] [math]e^xy=(e^{2x}-1)\ln(e^x-1)-\frac{e^{2x}}{2}-e^x-e^x\sin{x}+\frac{e^{2x}}{2}(C_1+1-2x)+C_2[/math] [math]\begin{aligned}y&=(e^x-e^{-x})\ln(e^x-1)-\frac{e^x}{2}-1-\sin{x}+\frac{e^x}{2}(C_1+1-2x)+C_2e^{-x}=\\[4pt]&=2\operatorname{sh}x\ln(e^x-1)+\frac{e^x}{2}(C_1-2x)+C_2e^{-x}-\sin{x}-1=\\[4pt]&=2\operatorname{sh}x\ln(e^x-1)+(A-x)e^x+Be^{-x}-\sin{x}-1\end{aligned}[/math] Всё понятно?? |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
||
У меня получилось также, другим способом.Изображение не вставляется почему-то весь вечер
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
pewpimkin
Загрузите сюда gallery/upload.php?album_id=6 изображение, скопируйте ссылку, вставьте её в сообщение. |
|||
Вернуться к началу | |||
pewpimkin |
|
||
Не хочет все равно, слишком высокое разрешение, пишет.А что как было, уже больше не будет вставляться?
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
pewpimkin
Так разбейте на две картинки, должно получится. |
|||
Вернуться к началу | |||
pewpimkin |
|
|
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дифференциальные уравнения высших порядков | 1 |
247 |
30 сен 2016, 22:29 |
|
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. | 1 |
297 |
26 июн 2017, 00:43 |
|
Линейные неоднородные ОДУ | 1 |
222 |
26 дек 2016, 13:45 |
|
ЛНДУ высших порядков | 1 |
486 |
24 дек 2014, 18:24 |
|
Дифференциалы высших порядков
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
359 |
18 май 2014, 20:05 |
|
Дифференцирование высших порядков
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
347 |
21 июн 2016, 00:13 |
|
Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами | 2 |
290 |
10 июн 2017, 11:39 |
|
Производные высших порядков, тождественно равные нулю
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
447 |
07 фев 2017, 18:14 |
|
Python: Задача Коши для ДУ высших порядков (Рунге-Кутта)
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
1 |
366 |
08 ноя 2020, 14:10 |
|
Решить методом разложения на одно- и неоднородные уравнения | 1 |
210 |
14 июн 2017, 00:57 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |