Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 04 дек 2013, 09:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 09:05
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задание: решить интегральное уравнение [math]x(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)x(s)ds}[/math]

Решаем методом последовательного приближения.

Пусть[math]{x_0}(t) = 0[/math], тогда

[math]{x_1}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s) \cdot 0 \cdot ds = t}[/math]

[math]{x_2}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)tds = t +{t^3}}[/math]

[math]{x_3}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)(t +{t^3})}ds = t +{t^3}+{t^5}[/math]

получаем последовательность:

[math]{x_n}(t) = t +{t^3}+{t^5}+{t^7}+ ... +{t^{(2n + 1)}}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{{t^{(2n - 1)}}}[/math]

Переходя к пределу [math]n \to \infty[/math], получаем решение исходного интегрального уравнения в виде степенного ряда с известной суммой:

[math]x(t) = \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}{x_n}(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{t^{(2n - 1)}}}[/math]= ?

Помогите с ответом. Чему будет равен ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 04 дек 2013, 10:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} {x_2}\left( t \right) = t + 2\int\limits_0^t {\left( {t - s} \right)sds} = t + \frac{{{2t^3}}}{{3!}} \hfill \\ {x_3}\left( t \right) = t + 2\int\limits_0^t {\left( {t - s} \right)\left( {s + \frac{{{2s^3}}}{{3!}}} \right)ds} = t + \frac{{{2t^3}}}{{3!}} + \frac{{{2^2t^5}}}{{5!}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

А не хотите через преобразование Лапласа решить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math, whp
 Заголовок сообщения: Re: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 04 дек 2013, 11:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 09:05
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
попробую

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 11:29 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)x(s)ds};=> x(0)=0;[/math]

[math]x'(t) = 1 + 2\int\limits_0^t{x(s)ds}; => x'(0)=1;[/math]

[math]x"(t) = 2x(t); => x(t)=c_1 e^{t\sqrt{2}}+c_2e^{-t\sqrt{2}};=> x(0)=0=c_1+c_2; => x(t)=c(e^{t\sqrt{2}}-e^{-t\sqrt{2}}) ;=> x'(0)=1=c\sqrt{2}(1+1);[/math]

[math]x(t)=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^{t\sqrt{2}}-e^{-t\sqrt{2}})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
whp
 Заголовок сообщения: Re: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 15:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 09:05
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение интегрального уравнения
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 17:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 09:05
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
можно подробнее, как мы получили [math]x(t) ={c_1}{e^{t\sqrt 2}}+{c_2}{e^{- t\sqrt 2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтера

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Limpompo

0

327

26 мар 2018, 13:23

Непрерывный спектр нелинейного интегрального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Albireo

0

109

30 июл 2024, 00:10

Собственные значения однородного интегрального уравнения Фре

в форуме Maple

Rocky09

0

517

20 ноя 2015, 19:45

Приложение интегрального исчисления

в форуме Интегральное исчисление

Loly

3

425

04 окт 2017, 15:35

Приложение интегрального исчисления

в форуме Интегральное исчисление

Loly

2

489

04 окт 2017, 15:38

Собственные значения интегрального оператора

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Gargantua

0

451

28 окт 2017, 17:56

Решение уравнения

в форуме Тригонометрия

welonem

2

342

14 дек 2020, 11:31

Решение уравнения y^2 = x^3 + 1

в форуме Алгебра

Fireman

52

2126

30 янв 2019, 12:15

Решение уравнения

в форуме Алгебра

Linod

5

392

08 дек 2018, 21:17

Решение уравнения

в форуме Алгебра

craxzy

2

386

04 мар 2015, 20:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved