Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Точное решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2013, 10:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 ноя 2013, 10:22
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно точное решение уравнения теплопроводности при заданных (на фотографии) или любых других начальных и граничных условий. Мне нужно решение своё проверить и оценить погрешность.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точное решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2013, 11:39 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]1). u(0,t)=u(1,t)=0; u(x,0)=sin(\pi x);[/math] Решение представляется в виде [math]u=\sum_{k=1}^{\infty}e^{- a t (\pi k)^2}c_k sin(\pi k x)[/math]

Используем начальные условия [math]\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x)=sin(\pi x);[/math] Отсюда сразу получаем ответ [math]u=e^{-a t (\pi)^2}sin(\pi x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точное решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2013, 12:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 ноя 2013, 10:22
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо! :Bravo:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точное решение уравнения теплопроводности
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2013, 12:13 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]2). u(0,t)=e^{-at}; u(1,t)=-e^{-at}; u(x,0)=cos(x);[/math] приводим задачу к нулевым граничным условиям

[math]u=v+e^{-at}[cos(x)-\frac{sin(x)(1+cos(1))}{sin(1)}][/math] тогда очевидно, что функция v будет представлена в виде полученном в первой задаче, то-есть.

[math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) e^{-a t (\pi k)^2}[/math], где Ck находятся из начальных условий

[math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) = cos(x)-cos(x)+sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}=sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}[/math]

[math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx; sin(a)sin(b)=0,5[cos(a-b)-cos(a+b)];[/math]

[math]\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx = 0,5 \int_0^1 dx[cos(x(\pi k -1))-cos(x(\pi k +1))]=0,5[\frac{sin(x(\pi k -1))}{\pi k -1} - \frac{sin(x(\pi k +1))}{\pi k +1}]_0^1=[/math]

[math]=0,5(\frac{sin(\pi k -1)}{\pi k -1}-\frac{sin(\pi k+1)}{\pi k+1})=0,5(-1)^{k+1}sin(1)[\frac{1}{\pi k -1}+ \frac{1}{\pi k+1}]= (-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math]

[math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}(-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}=2(1+cos(1))(-1)^{k+1}\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Аналитическое решение уравнения теплопроводности

в форуме Специальные разделы

crazymadman18

1

417

08 апр 2019, 12:03

Решение уравнения теплопроводности в matlab-е

в форуме Специальные разделы

Qwerty2

0

1047

03 мар 2016, 15:06

Имеется ли точное решение такого интеграла?

в форуме Интегральное исчисление

rt7

1

247

05 окт 2022, 15:27

Задача на тождественные преобразования (точное решение)

в форуме Алгебра

Fireman

3

467

09 фев 2017, 17:46

Трёхмерное уравнение теплопроводности. Численное решение

в форуме Специальные разделы

KRIZH

1

482

17 апр 2018, 08:25

Точное значение

в форуме Тригонометрия

kushakhan

3

441

14 дек 2022, 08:27

Точное построение девятиугольника вписанного в круг

в форуме Палата №6

diman-charodei

17

1253

14 июл 2017, 14:39

Дайте точное и приближенное выражение для вероятности

в форуме Теория вероятностей

Geomath

1

555

28 дек 2018, 19:16

Уравнение теплопроводности

в форуме Специальные разделы

Yaroslav171

2

361

16 май 2020, 15:53

Уравнение теплопроводности

в форуме Специальные разделы

oksanaku

1

588

17 июн 2016, 16:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved