Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| brvlist1 |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
[math]1). u(0,t)=u(1,t)=0; u(x,0)=sin(\pi x);[/math] Решение представляется в виде [math]u=\sum_{k=1}^{\infty}e^{- a t (\pi k)^2}c_k sin(\pi k x)[/math]
Используем начальные условия [math]\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x)=sin(\pi x);[/math] Отсюда сразу получаем ответ [math]u=e^{-a t (\pi)^2}sin(\pi x)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| brvlist1 |
|
|
|
Большое спасибо!
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
[math]2). u(0,t)=e^{-at}; u(1,t)=-e^{-at}; u(x,0)=cos(x);[/math] приводим задачу к нулевым граничным условиям
[math]u=v+e^{-at}[cos(x)-\frac{sin(x)(1+cos(1))}{sin(1)}][/math] тогда очевидно, что функция v будет представлена в виде полученном в первой задаче, то-есть. [math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) e^{-a t (\pi k)^2}[/math], где Ck находятся из начальных условий [math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) = cos(x)-cos(x)+sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}=sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}[/math] [math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx; sin(a)sin(b)=0,5[cos(a-b)-cos(a+b)];[/math] [math]\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx = 0,5 \int_0^1 dx[cos(x(\pi k -1))-cos(x(\pi k +1))]=0,5[\frac{sin(x(\pi k -1))}{\pi k -1} - \frac{sin(x(\pi k +1))}{\pi k +1}]_0^1=[/math] [math]=0,5(\frac{sin(\pi k -1)}{\pi k -1}-\frac{sin(\pi k+1)}{\pi k+1})=0,5(-1)^{k+1}sin(1)[\frac{1}{\pi k -1}+ \frac{1}{\pi k+1}]= (-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math] [math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}(-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}=2(1+cos(1))(-1)^{k+1}\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: Alexdemath |
||
|
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |