Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 01:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 ноя 2013, 00:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, подскажите, пожалуйста, можно ли решить это уравнение аналитически (т.е. представить решение этого уравнения в замкнутом виде). Если можно, то как?
[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 01:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]y'=z, y''=z'z[/math]

[math]z'= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]\frac{dz}{dy}= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math]

[math]\int dz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math]

[math]z = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

[math]\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

UPD: [math]z[/math] забыл...


Последний раз редактировалось Wersel 08 ноя 2013, 01:25, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
[Vitaliy]
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 01:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот последнее уравнение через элементарные функции вряд ли выражается, но через специальные -- вполне.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
[Vitaliy]
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 19:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 ноя 2013, 00:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel, большое спасибо за подсказку. Мои знания в области применения специальных функций для решения дифференциальных уравнений равны нулю. Не посоветуете доступную литературу (желательно с разобраными примерами решений)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 20:40 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel! Ты ошибся!

[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]y'=z, y''=z'z[/math]

[math]\frac{dz}{dy}z= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math]

[math]\int zdz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math]

[math]\frac{z^2}{2} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

[math]\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}}=>[/math]

[math]\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math]

Далее можно попробовать подстановку [math]t=e^{Dy}; y=\frac{ln(t)}{D}; dy=\frac{dt}{Dt};[/math]

[math]\int \frac{dt}{Dt\sqrt{\frac{a}{b}\cdot t^{\frac{b}{D}}- \frac{a}{c}\cdot t^{\frac{c}{D}}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math]

PS. В качестве справочника по специальным функциям именно в данном тяжелом случае я бы посоветовал Бейтмен, Эрдейи, "Высшие трансцендентные функциии". 1-2, а может и третий тома. Наверняка сейчас их уже можно скачать в интернете, а раньше была библиографическая редкость.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
[Vitaliy]
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 20:51 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Далее судьба утопающего - в руках утопающего! Если выдадите на гора числовые значения коэффициентов, то возможно что можно найти и конкретное частное решение что то из района гамма-функции и рядом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
[Vitaliy]
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 ноя 2013, 00:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N
Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2013, 21:31 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[Vitaliy] писал(а):
Alexander N
Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации.

Конечно я уже не математик, а овощ, но взглядом старого волка-суперпрофессионала - не колется вроде как аналитически.
Кстати, если вы судя по всему где то около проффи, то на этот счет сами знаете лучший HELP - справочник по обычным диффурам Э. Камке.
Я думаю, что там можно до сих пор найти все + тут импровизация профессионалов. Кстати я нигде, кроме как здесь, не встречал в интернете людей, знающих математику лучше меня.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нелинейное дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alex_vel

8

559

26 сен 2015, 00:51

Нелинейное дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

dona_9

1

247

23 дек 2016, 19:26

Нелинейное дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mysterious

1

165

29 ноя 2019, 20:51

Это линейное дифференциальное уравнение или нелинейное?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

IASUTP

0

435

07 сен 2015, 08:31

Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

MarshallBanana

3

506

09 май 2016, 14:13

Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Knyazhe

3

623

06 ноя 2017, 18:41

Нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

dareg

3

236

30 сен 2021, 23:35

Интересное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ingwaar

0

207

22 апр 2022, 02:16

Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

eg99

1

266

06 ноя 2021, 21:12

Нелинейное уравнение

в форуме Численные методы

Nastya_987

1

291

14 дек 2015, 21:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved