Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Однородное уравнение
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 01:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 00:36
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y^2dx+(x^2-xy)dy=0[/math]
На WolframAlpha в ответе W-функция Ламберта, о которой я впервые узнаю,
а в ответе должно быть [math]Cy=e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\,y}[/math]
Как привести ответ к нужному виду?
И в третьей строке снизу у меня правильно?

Вложения:
2.jpg
2.jpg [ 195.35 Кб | Просмотров: 42 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Однородное уравнение
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 02:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
W-функция Ламберта у вольфрама получается из-за того, что он явно выражает [math]y(x)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Однородное уравнение
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 02:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не пытайтесь переделывать решение вольфрама, попробуйте решить сами, например, запись [math]\int \frac{\frac{dt}{dx} (t-1)}{t} dx = \int \frac{dx}{x}[/math] несколько некорректна, хотя могу и ошибаться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Однородное уравнение
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 02:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y^2 dx + (x^2-xy) dy = 0[/math]

[math](x^2-xy) dy = -y^2 dx[/math]

[math](x^2-xy) y' = -y^2[/math]

[math]\left (1-\frac{y}{x} \right ) y' = - \left( \frac{y}{x} \right )^2[/math]

Пусть [math]t = \frac{y}{x}[/math], тогда [math]y=tx[/math] и [math]y'=t'x+t[/math]. Подставляем, получаем:

[math](1-t) \cdot (t'x+t) = - t^2[/math]

[math]t'x+t -t'tx-t^2 = - t^2[/math]

[math]t'x (1 -t)= -t[/math]

[math]\frac{dt}{dx} x (t-1)= t[/math]

[math]\frac{(t-1) dt}{t}= \frac{dx}{x}[/math]

[math]\int \left ( 1 - \frac{1}{t} \right ) dt = \int \frac{dx}{x}[/math]

[math]t - \ln|t| = ln|x| + C[/math]

Обратная замена [math]t = \frac{y}{x}[/math]:

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | = \ln|x| + C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | - \ln|x| = C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \left ( \ln \left |\frac{y}{x}\right | + \ln|x| \right )= C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{xy}{x}\right | = C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln|y| = C[/math]

Все, Вы получили общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Явно выражать [math]y(x)[/math] стоит в том случае, когда это делается просто, в противном случае (как здесь), просто запишите общий интеграл дифференциального уравнения [math]f(x,y)=C[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
Den1sart
 Заголовок сообщения: Re: Однородное уравнение
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 02:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И не стоит подгонять решение под ответ. Если хотите проверить правильность решения, возьмите производную от ответа (как производную неявной функции), если ответ верный - после преобразований получите исходное дифф. уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Однородное уравнение

в форуме Дифференциальное исчисление

CM Punk

3

364

18 фев 2017, 14:04

Однородное уравнение

в форуме Алгебра

Flutt1

6

347

26 янв 2017, 16:41

Однородное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

djeak11

3

388

18 дек 2016, 23:28

Линейное однородное уравнение по ФСР

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

1

145

30 апр 2018, 18:56

Решить однородное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ioi

3

168

16 май 2020, 12:35

Как решить это однородное уравнение?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Arno

17

679

19 сен 2015, 16:23

Однородное дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

n4y

10

898

02 сен 2015, 18:35

Однородное дифференциальное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Decart

1

230

23 май 2016, 02:18

Решить линейное однородное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ioi

1

174

16 май 2020, 12:46

Решить линейное однородное уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ioi

0

98

16 май 2020, 12:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved