Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Bach |
|
|
|
Условие Три черепахи [math]$A$[/math], [math]$B$[/math] и [math]$C$[/math] в начальный момент времени расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной [math]$a$[/math] (на рисунке треугольник расположен так, что вершина [math]$A$[/math] находится в начале декартовой системы координат, а сторона [math]$AB$[/math] лежит на оси [math]$Ox$[/math]) и начинают движение с постоянной скоростью [math]$v$[/math] каждая по направлению к черепахе, находящейся справа, сохраняя направление движения на эту черепаху. Составить дифференциальное уравнение траектории движения черепахи [math]$A$[/math]. Мое решение Пусть [math]$y = y(x)$[/math] - функция, описывающая траекторию движения черепахи. Производная [math]\frac{dy}{dx}[/math] в любой точке этой траектории равна угловому коэффициенту касательной к траектории в этой точке. Но, в соответствии с условиями задачи, касательная проходит через точку [math]$(x^*, y^*)$[/math], в которой находится черепаха [math]$B$[/math] в тот момент, когда черепаха [math]$A$[/math] находится в точке [math]$(x, y)$[/math]. Тогда угловой коэффициент касательной, а с ним и [math]\frac{dy}{dx}[/math], равен [math]\frac{y^* - y}{x^* - x}[/math] Из условий задачи следует, что траектория движения черепахи [math]$B$[/math] есть траектория черепахи [math]$A$[/math], повернутая на [math]$120^{\circ}$[/math] в положительном направлении относительно центра симметрии треугольника. Тогда [math]x^* = -\frac{x + \sqrt{3}y}{2} + a[/math] [math]y^* = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}[/math] Отсюда, учитывая выражение для производной, получаем требуемое уравнение: [math]\frac{dy}{dx} = \frac{y^* - y}{x^* - x} = \frac{\sqrt{3}y - x}{\sqrt{3}x + y - \frac{2}{3}a}[/math] Посмотрите, пожалуйста, правильно ли она решена и, если нет, подскажите какие ошибки я допустил. Спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Замечательно, но, согласитесь, что в уравнении должна присутствовать скорость [math]v[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Bach |
|
|
|
Да, меня тоже это смущает. Но я как ни пытался думать, как она может участвовать в уравнении, так и не придумал. И интуитивно, и путем размышлений, я пришел к выводу, что при любом модуле скорости (но при постоянном в рамках задачи, естественно) траектории не зависят от этого модуля. Если задавать траектории параметрически, а за параметр принять время, то параметрические функции (но, опять таки, не траектория) будут зависеть от модуля скорости.
Вот такие вот размышления... Что Вы думаете по этому поводу? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Да, Вы правы по поводу траектории и скорости за исключением случая [math]v=0[/math]
Если искать траекторию в параметрической форме, то в окончательной форме её можно представить как функцию, зависящую от расстояния черепахи до центра симметрии треугольника. Замечательная спираль получается, которая имеет конечную длину с бесконечным числом оборотов вокруг центра. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Bach |
|
|
|
Спасибо Вам большое за помощь! А с функцией, о которой Вы говорите, попробую поколдовать на досуге. Не знаю, что у меня получится, но "вопрос, конечно, интересный"
![]() Еще раз спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 5 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Слово составлено из карточек
в форуме Теория вероятностей |
25 |
2120 |
28 дек 2015, 19:27 |
|
|
Верно ли составлено уравнения и результат?
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
360 |
27 окт 2015, 16:38 |
|
|
Правильно ли я составил уравнение?
в форуме Алгебра |
4 |
168 |
21 июн 2019, 14:20 |
|
| Правильно ли я решаю диф уравнение? | 4 |
152 |
18 дек 2019, 16:15 |
|
|
Правильно ли я решил данное уравнение?
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
5 |
516 |
28 янв 2015, 13:30 |
|
| Как правильно составить уравнение кривой 2го порядка? | 3 |
178 |
02 апр 2019, 14:43 |
|
|
Как правильно написать?
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
292 |
16 май 2017, 22:37 |
|
|
Правильно ли определена ОДЗ?
в форуме Алгебра |
6 |
203 |
25 янв 2020, 10:32 |
|
|
Правильно ли...(производные)
в форуме Дифференциальное исчисление |
5 |
437 |
08 дек 2014, 20:31 |
|
|
Правильно ли мыслю
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
7 |
406 |
09 сен 2015, 18:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |