Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Правильно ли составлено уравнение?
СообщениеДобавлено: 10 авг 2013, 04:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2013, 04:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решаю задачи к главе I выпуска VIII ("Дифференциальные уравнения") сборника "Математика в техническом университете" изд. МГТУ им. Баумана (всего там три задачи, но я пока остановился на первой). Задачу то я решил, только что-то нет уверенности в корректности решения. Вот задача (мое решение пока что привожу схематически)

Условие
Три черепахи [math]$A$[/math], [math]$B$[/math] и [math]$C$[/math] в начальный момент времени расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной [math]$a$[/math] (на рисунке треугольник расположен так, что вершина [math]$A$[/math] находится в начале декартовой системы координат, а сторона [math]$AB$[/math] лежит на оси [math]$Ox$[/math]) и начинают движение с постоянной скоростью [math]$v$[/math] каждая по направлению к черепахе, находящейся справа, сохраняя направление движения на эту черепаху. Составить дифференциальное уравнение траектории движения черепахи [math]$A$[/math].

Мое решение
Пусть [math]$y = y(x)$[/math] - функция, описывающая траекторию движения черепахи. Производная [math]\frac{dy}{dx}[/math] в любой точке этой траектории равна угловому коэффициенту касательной к траектории в этой точке. Но, в соответствии с условиями задачи, касательная проходит через точку [math]$(x^*, y^*)$[/math], в которой находится черепаха [math]$B$[/math] в тот момент, когда черепаха [math]$A$[/math] находится в точке [math]$(x, y)$[/math]. Тогда угловой коэффициент касательной, а с ним и [math]\frac{dy}{dx}[/math], равен
[math]\frac{y^* - y}{x^* - x}[/math]
Из условий задачи следует, что траектория движения черепахи [math]$B$[/math] есть траектория черепахи [math]$A$[/math], повернутая на [math]$120^{\circ}$[/math] в положительном направлении относительно центра симметрии треугольника. Тогда
[math]x^* = -\frac{x + \sqrt{3}y}{2} + a[/math]
[math]y^* = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}[/math]
Отсюда, учитывая выражение для производной, получаем требуемое уравнение:
[math]\frac{dy}{dx} = \frac{y^* - y}{x^* - x} = \frac{\sqrt{3}y - x}{\sqrt{3}x + y - \frac{2}{3}a}[/math]

Посмотрите, пожалуйста, правильно ли она решена и, если нет, подскажите какие ошибки я допустил.
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильно ли составлено уравнение?
СообщениеДобавлено: 10 авг 2013, 21:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Замечательно, но, согласитесь, что в уравнении должна присутствовать скорость [math]v[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильно ли составлено уравнение?
СообщениеДобавлено: 11 авг 2013, 03:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2013, 04:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, меня тоже это смущает. Но я как ни пытался думать, как она может участвовать в уравнении, так и не придумал. И интуитивно, и путем размышлений, я пришел к выводу, что при любом модуле скорости (но при постоянном в рамках задачи, естественно) траектории не зависят от этого модуля. Если задавать траектории параметрически, а за параметр принять время, то параметрические функции (но, опять таки, не траектория) будут зависеть от модуля скорости.
Вот такие вот размышления... Что Вы думаете по этому поводу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильно ли составлено уравнение?
СообщениеДобавлено: 12 авг 2013, 07:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, Вы правы по поводу траектории и скорости за исключением случая [math]v=0[/math] :)
Если искать траекторию в параметрической форме, то в окончательной форме её можно представить как функцию, зависящую от расстояния черепахи до центра симметрии треугольника. Замечательная спираль получается, которая имеет конечную длину с бесконечным числом оборотов вокруг центра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильно ли составлено уравнение?
СообщениеДобавлено: 13 авг 2013, 03:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 авг 2013, 04:21
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам большое за помощь! А с функцией, о которой Вы говорите, попробую поколдовать на досуге. Не знаю, что у меня получится, но "вопрос, конечно, интересный" :)
Еще раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Слово составлено из карточек

в форуме Теория вероятностей

bonny

25

2120

28 дек 2015, 19:27

Верно ли составлено уравнения и результат?

в форуме Интегральное исчисление

jusip

3

360

27 окт 2015, 16:38

Правильно ли я составил уравнение?

в форуме Алгебра

DimaK

4

168

21 июн 2019, 14:20

Правильно ли я решаю диф уравнение?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

acetonio

4

152

18 дек 2019, 16:15

Правильно ли я решил данное уравнение?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

fam1x

5

516

28 янв 2015, 13:30

Как правильно составить уравнение кривой 2го порядка?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

lc2

3

178

02 апр 2019, 14:43

Как правильно написать?

в форуме Объявления участников Форума

bvn

0

292

16 май 2017, 22:37

Правильно ли определена ОДЗ?

в форуме Алгебра

Zondr88

6

203

25 янв 2020, 10:32

Правильно ли...(производные)

в форуме Дифференциальное исчисление

xumuk

5

437

08 дек 2014, 20:31

Правильно ли мыслю

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

prson1

7

406

09 сен 2015, 18:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved