Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение математичской физики
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=25409
Страница 1 из 1

Автор:  Jakiro [ 12 июн 2013, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение математичской физики

Вообщем у меня такая проблема, мне оч нужно решить 3 задания из УМФ, но я никак не могу этого сделать, пары прогуливал из-за работы, помогите пожалуйста!
Изображение

Автор:  Human [ 16 июн 2013, 17:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение математичской физики

▼ 1
[math]\mathcal{L}(y(x))=Y(p)[/math]

[math]\mathcal{L}\left(\int\limits_0^x(x-s)^2y(s)\,ds\right)=\mathcal{L}\left(x^2*y(x)\right)=\mathcal{L}\left(x^2\right)\mathcal{L}(y(x))=\frac2{p^3}Y(p)[/math];

[math]\mathcal{L}\left(\frac13x^3\right)=\frac2{p^4}[/math]

[math]Y(p)=\frac1p\Rightarrow y(x)=1[/math]


▼ 2
[math]y_{n+1}(x)=\frac12(1-x)\left(2\pi\int\limits_0^1\sin(2\pi s)y_n(s)\,ds+1\right)[/math]

[math]y_0(x)=0[/math]

[math]y_1(x)=\frac12(1-x)[/math]

[math]y_2(x)=\frac12(1-x)\left(\pi\int\limits_0^1\sin(2\pi s)(1-s)\,ds+1\right)=\frac12(1-x)\left(\frac12+1\right)[/math]

[math]y_3(x)=\frac12(1-x)\left(\left(\frac12+1\right)\pi\int\limits_0^1\sin(2\pi s)(1-s)\,ds+1\right)\frac12(1-x)=\frac12(1-x)\left(\frac14+\frac12+1\right)[/math]
..............................................

[math]y_n(x)=(1-x)\left(1-\frac1{2^n}\right)[/math]

[math]y(x)=\lim_{n\to\infty}y_n(x)=1-x[/math]


▼ 3
[math]U(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)X_n(x)[/math]

[math]U(0,t)=U(l,t)=0\Rightarrow X_n(x)=\sin\frac{\pi nx}l[/math]

[math]U_{tt}-a^2U_{xx}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(T''_n(t)+\left(\frac{\pi a n}l\right)^2T_n(t)\right)X_n(x)=0\Rightarrow T''_n(t)+\left(\frac{\pi a n}l\right)^2T_n(t)=0[/math]

[math]U(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(0)X_n(x)=\sin\frac{2\pi x}l\Rightarrow T_n(0)=\left\{\begin{aligned}1,\ n=2\\0,\ n\ne2\end{aligned}\right.[/math]

[math]U_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}T'_n(0)X_n(x)=1\Rightarrow T'_n(0)=\frac2l\int\limits_0^l\sin\frac{\pi nx}l\,dx=\left\{\begin{aligned}\frac4{\pi n},&\ n=2m-1\\0,&\ n=2m\end{aligned}\right.[/math]

[math]n=2m-1\colon\quad T''_n+\left(\frac{\pi a n}l\right)^2T_n(t)=0,\ T_n(0)=0,\ T'_n(0)=\frac4{\pi n}\Rightarrow T_n(t)=\frac{4l}{\pi^2n^2 a}\sin\frac{\pi ant}l[/math]

[math]n=2\colon\quad T''_2+\left(\frac{2\pi a}l\right)^2T_2(t)=0,\ T_2(0)=1,\ T'_2(0)=0\Rightarrow T_2(t)=\cos\frac{2\pi at}l[/math]

[math]n=2m+2\colon\quad T''_n+\left(\frac{\pi a n}l\right)^2T_n(t)=0,\ T_n(0)=0,\ T'_n(0)=0\Rightarrow T_n(t)=0[/math]

[math]U(x,t)=\cos\frac{2\pi at}l\sin\frac{2\pi x}l+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4l}{\pi^2(2m-1)^2 a}\sin\frac{\pi a(2m-1)t}l\sin\frac{\pi(2m-1)x}l[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/