Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Система дифференциальных уравнений в симетрической форме
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=24881
Страница 1 из 1

Автор:  adquad [ 29 май 2013, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

Привет, нужно решить систему дифференциальных уравнений:
[math]\frac{dx}{x(y-z)}= \frac{dy}{z^2+xy}= \frac{dz}{z(x+z)}[/math]
Первый интеграл системы я нашел:
[math]\frac{ dy-dz-dx }{ z^2+xy-xz-z^2-xy+xz } = \frac{ d(y-z-x) }{ 0 }[/math]
отсюда [math]y-z-x=C[/math]. Теперь нужно найти второй, прошу помочь.

Автор:  Human [ 30 май 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

Подставив [math]y-z=x+C[/math] в первую дробь, получим уравнение

[math]\frac{dx}{x(x+C)}=\frac{dz}{z(x+z)}[/math]

или

[math]z'=\frac z{x+C}+\frac{z^2}{x(x+C)}[/math]

Замена [math]z=(x+C)p[/math] сводит уравнение к виду

[math]p'=\frac{p^2}x[/math], откуда

[math]\frac1p=-\ln x+D\Rightarrow\frac{x+C}z=-\ln x+D\Rightarrow D=\ln x+\frac{y-z}z[/math]. Или [math]D=\ln x+\frac yz[/math].

Автор:  pewpimkin [ 30 май 2013, 19:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

Изображение


У меня получилось так: не знаю, то ли также, как и выше, то ли неправильно. Первый раз почти решаю такие системы

Автор:  Human [ 30 май 2013, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

pewpimkin, в районе замены [math]t=z^{-1}[/math] потеряли минус.

Автор:  pewpimkin [ 30 май 2013, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

Да, спасибо. Но идея-то хоть верная?

Автор:  adquad [ 31 май 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система дифференциальных уравнений в симетрической форме

Human, pewpimkin, огромное вам спасибо за помощь, не ожидал что мне дадут ответ в таком развернутом виде!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/