| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти частное решение диф. уравнения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=24421 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | CRUMBL [ 19 май 2013, 15:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти частное решение диф. уравнения |
Само задание: и попытка решения: Не могу понять, что делать дальше? Заранее спасибо. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 19 май 2013, 16:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти частное решение диф. уравнения |
Интегрирующий множитель Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид [math]y'+a(x)y=b(x)[/math] где [math]a(x)[/math] и [math]b(x)[/math] - непрерывные функции [math]x[/math]. Такого рода уравнение можно решить с помощью некоторой хитрой функции, так называемого интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель находим по формуле [math]\boxed {u(x)=e^{\int a(x)dx}}[/math] Умножая обе части уравнения на [math]u(x)[/math], получаем в левой части производную произведения: [math](yu(x))' = b(x)u(x)[/math] Интегрируя обе части последнего уравнения по [math]x[/math] находим функцию [math]y[/math] [math]yu(x)=\int b(x)u(x)dx[/math] [math]y=\frac{\int b(x)u(x)dx}{u(x)}[/math] Не забудьте про постоянную интегрирования! Пример [math]y'-2xy=4x^3e^{x^2}[/math] Находим нтегрирующий множитель: [math]u(x)=e^{\int(-2x)dx}=e^{-x^2}[/math] Умножаем обе части уравнения на эту функцию: [math]y'e^{-x^2}-2xye^{-x^2}=4x^3e^{x^2}e^{-x^2}[/math] И получаем [math](ye^{-x^2})'=4x^3[/math] Интегрируем обе части по [math]x[/math]: [math]\int(ye^{-x^2})'dx=\int 4x^3dx[/math] [math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math] [math]y= e^{-x^2}(x^4+C)[/math] - общее решение. |
|
| Автор: | CRUMBL [ 19 май 2013, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти частное решение диф. уравнения |
SzaryWilk, спасибо большое, буду разбираться. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 21 май 2013, 01:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти частное решение диф. уравнения |
Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку. |
|
| Автор: | CRUMBL [ 21 май 2013, 07:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти частное решение диф. уравнения |
SzaryWilk писал(а): Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку. Значит у меня верно, без минуса, SzaryWilk? Не понял, какую строку. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 21 май 2013, 15:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти частное решение диф. уравнения |
У Вас верный ответ, решения я не проверяла. Предпоследнюю строку, значит [math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math]. Если умножим это выражение на [math]e^{x^2}[/math] то получим [math]y= e^{x^2}(x^4+4)[/math], а не [math]y= e^{-x^2}(x^4+4)[/math]. P.S. Дело, конечно Ваше, но я Вам очень рекомендую освоить метод интегрирующего множителя, он очень удобный. Удачи! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|