Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти частное решение диф. уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=24421
Страница 1 из 1

Автор:  CRUMBL [ 19 май 2013, 15:39 ]
Заголовок сообщения:  Найти частное решение диф. уравнения

Само задание:
Изображение

и попытка решения:
Изображение

Не могу понять, что делать дальше? Заранее спасибо.

Автор:  SzaryWilk [ 19 май 2013, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

Интегрирующий множитель


Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

[math]y'+a(x)y=b(x)[/math]


где [math]a(x)[/math] и [math]b(x)[/math] - непрерывные функции [math]x[/math].

Такого рода уравнение можно решить с помощью некоторой хитрой функции, так называемого интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель находим по формуле

[math]\boxed {u(x)=e^{\int a(x)dx}}[/math]


Умножая обе части уравнения на [math]u(x)[/math], получаем в левой части производную произведения:

[math](yu(x))' = b(x)u(x)[/math]


Интегрируя обе части последнего уравнения по [math]x[/math] находим функцию [math]y[/math]

[math]yu(x)=\int b(x)u(x)dx[/math]



[math]y=\frac{\int b(x)u(x)dx}{u(x)}[/math]


Не забудьте про постоянную интегрирования!



Пример

[math]y'-2xy=4x^3e^{x^2}[/math]


Находим нтегрирующий множитель:

[math]u(x)=e^{\int(-2x)dx}=e^{-x^2}[/math]

Умножаем обе части уравнения на эту функцию:

[math]y'e^{-x^2}-2xye^{-x^2}=4x^3e^{x^2}e^{-x^2}[/math]


И получаем

[math](ye^{-x^2})'=4x^3[/math]


Интегрируем обе части по [math]x[/math]:

[math]\int(ye^{-x^2})'dx=\int 4x^3dx[/math]


[math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math]

[math]y= e^{-x^2}(x^4+C)[/math]


- общее решение.

Автор:  CRUMBL [ 19 май 2013, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

SzaryWilk, спасибо большое, буду разбираться.

Автор:  CRUMBL [ 20 май 2013, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

Уважаемый SzaryWilk, если не сложно, можете сказать, где я ошибся? Ваше решение я так понять и не смог, однако получилось так, как я начинал, но у меня почему-то в общем решении в степени числа е нет минуса.
Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 21 май 2013, 01:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку.

Автор:  CRUMBL [ 21 май 2013, 07:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

SzaryWilk писал(а):
Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку.

Значит у меня верно, без минуса, SzaryWilk? Не понял, какую строку.

Автор:  SzaryWilk [ 21 май 2013, 15:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти частное решение диф. уравнения

У Вас верный ответ, решения я не проверяла.
Предпоследнюю строку, значит [math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math]. Если умножим это выражение на [math]e^{x^2}[/math] то получим [math]y= e^{x^2}(x^4+4)[/math], а не [math]y= e^{-x^2}(x^4+4)[/math].

P.S. Дело, конечно Ваше, но я Вам очень рекомендую освоить метод интегрирующего множителя, он очень удобный.
Удачи!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/