Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 19 май 2013, 15:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 17:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Само задание:
Изображение

и попытка решения:
Изображение

Не могу понять, что делать дальше? Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 19 май 2013, 16:23 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интегрирующий множитель


Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

[math]y'+a(x)y=b(x)[/math]


где [math]a(x)[/math] и [math]b(x)[/math] - непрерывные функции [math]x[/math].

Такого рода уравнение можно решить с помощью некоторой хитрой функции, так называемого интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель находим по формуле

[math]\boxed {u(x)=e^{\int a(x)dx}}[/math]


Умножая обе части уравнения на [math]u(x)[/math], получаем в левой части производную произведения:

[math](yu(x))' = b(x)u(x)[/math]


Интегрируя обе части последнего уравнения по [math]x[/math] находим функцию [math]y[/math]

[math]yu(x)=\int b(x)u(x)dx[/math]



[math]y=\frac{\int b(x)u(x)dx}{u(x)}[/math]


Не забудьте про постоянную интегрирования!



Пример

[math]y'-2xy=4x^3e^{x^2}[/math]


Находим нтегрирующий множитель:

[math]u(x)=e^{\int(-2x)dx}=e^{-x^2}[/math]

Умножаем обе части уравнения на эту функцию:

[math]y'e^{-x^2}-2xye^{-x^2}=4x^3e^{x^2}e^{-x^2}[/math]


И получаем

[math](ye^{-x^2})'=4x^3[/math]


Интегрируем обе части по [math]x[/math]:

[math]\int(ye^{-x^2})'dx=\int 4x^3dx[/math]


[math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math]

[math]y= e^{-x^2}(x^4+C)[/math]


- общее решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
CRUMBL
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 19 май 2013, 17:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 17:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SzaryWilk, спасибо большое, буду разбираться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 20 май 2013, 18:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 17:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемый SzaryWilk, если не сложно, можете сказать, где я ошибся? Ваше решение я так понять и не смог, однако получилось так, как я начинал, но у меня почему-то в общем решении в степени числа е нет минуса.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 21 май 2013, 01:14 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
CRUMBL
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 21 май 2013, 07:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 май 2013, 17:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SzaryWilk писал(а):
Да это я опечаталась, извините. Посмотрите, пожалуйста предпоследнюю строку.

Значит у меня верно, без минуса, SzaryWilk? Не понял, какую строку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти частное решение диф. уравнения
СообщениеДобавлено: 21 май 2013, 15:54 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У Вас верный ответ, решения я не проверяла.
Предпоследнюю строку, значит [math]ye^{-x^2}= x^4+C[/math]. Если умножим это выражение на [math]e^{x^2}[/math] то получим [math]y= e^{x^2}(x^4+4)[/math], а не [math]y= e^{-x^2}(x^4+4)[/math].

P.S. Дело, конечно Ваше, но я Вам очень рекомендую освоить метод интегрирующего множителя, он очень удобный.
Удачи!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
CRUMBL
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти частное решение уравнения

в форуме Дифференциальное исчисление

dadessm

1

497

17 дек 2018, 22:06

Найти частное решение уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

vov

6

1284

28 фев 2015, 22:45

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

baton

8

384

16 дек 2020, 18:57

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

drashe

2

677

21 янв 2016, 16:06

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Ряды

sega77

1

225

06 ноя 2018, 06:03

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

baton

3

270

16 дек 2020, 19:05

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Информатика и Компьютерные науки

sasha11hutsul

1

334

17 апр 2021, 08:55

Найти частное решение дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fam1x

7

737

23 янв 2015, 17:22

Найти частное решение дифф. уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ramzesqqq

1

256

22 апр 2018, 12:25

Найти частное решение диф уравнения в точке x0

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

nightrealm

1

110

02 июн 2024, 22:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved