| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Преобразовать обыкновенное диф уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=24216 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | slog [ 13 май 2013, 20:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
Вводя новые переменные преобразовать диффур: [math]y''+y'\operatorname{th}x+ \frac{ m^2 }{\operatorname{ch^2}x } = 0,[/math] если [math]x=\ln{\operatorname{tg}{\frac{t}{2}}}[/math] что делаю: [math]\frac{d y}{d t}= \frac{ y' }{\sin{t} }[/math] [math]y'=\frac{d y}{d t}*\sin{t}[/math] [math]\frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{ y"-y' \cos{t} }{\sin^2{t} }[/math] [math]y"=\frac{d^2 y}{d t^2}\sin^2{t}+\frac{d y}{d t}*\cos{t} \sin{t}[/math] вот и ничего дальше не происходит а должно быть: [math]\frac{d^2 y}{d t^2}+ m^2y=0.[/math] это мой первый опыт общения с диффурами, решил 12 подобных, с этим что то заклинило( |
|
| Автор: | pewpimkin [ 13 май 2013, 20:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
А что такое x=lntg(t/2)? |
|
| Автор: | slog [ 13 май 2013, 20:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
[math]x=x(t)=\ln{\operatorname{tg}{ \frac{t}{ 2 } } }[/math] |
|
| Автор: | Human [ 13 май 2013, 21:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
slog Вы там [math]y[/math] у последнего слагаемого в исходном уравнении не забыли? [math]\operatorname{th}x=-\cos t,\ \frac1{\operatorname{ch}^2x}=\sin^2t[/math] |
|
| Автор: | slog [ 13 май 2013, 21:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
Да , забыл. Спасибо! |
|
| Автор: | slog [ 13 май 2013, 21:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
Human то есть вот так я должен был сделать? [math]x=\ln{\operatorname{tg}{ \frac{ t }{ 2 } } }=\ln{ \frac{ 2\sin{\frac{ t }{ 2 }\cos{\frac{ t }{ 2 } }} }{ 2\cos^2{\frac{ t }{ 2 } } } } = \ln{ \frac{ sin{t} }{ \sin{\frac{ t }{ 2 }+\cos^2{\frac{ t }{ 2 } }+\cos^2{\frac{ t }{ 2 } }-\sin{\frac{ t }{ 2 } } } =[/math] [math]=\ln{ \frac{ \sqrt{1-\cos^2{t}}}{1 +\ cos{t}}[/math] теперь[math]\operatorname{th}x=- \ cos{t}[/math] тогда второй [math]\frac{ 1}{ \operatorname{ch}^2x }=1-\operatorname{th}^2{x}=1-\cos^2{t}=\sin^2{t}[/math] Закрутили, закрутили)) |
|
| Автор: | Human [ 13 май 2013, 23:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
Я чуть по-другому делал: расписывал гиперб. тангенс [math]\operatorname{th}x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{\operatorname{tg}^2\frac t2-1}{1+\operatorname{tg}^2\frac t2}=\sin^2\frac t2-\cos^2\frac t2=-\cos t[/math] Думаю, так будет корректнее, а то мне равенство [math]\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}[/math] не особо нравится. |
|
| Автор: | slog [ 14 май 2013, 13:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение |
Чем ? Синус здесь положительный Но Расписывая тангенс, безусловно проще) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|