Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Преобразовать обыкновенное диф уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=24216
Страница 1 из 1

Автор:  slog [ 13 май 2013, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Преобразовать обыкновенное диф уравнение

Вводя новые переменные преобразовать диффур:

[math]y''+y'\operatorname{th}x+ \frac{ m^2 }{\operatorname{ch^2}x } = 0,[/math] если [math]x=\ln{\operatorname{tg}{\frac{t}{2}}}[/math]
что делаю:

[math]\frac{d y}{d t}= \frac{ y' }{\sin{t} }[/math]


[math]y'=\frac{d y}{d t}*\sin{t}[/math]

[math]\frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{ y"-y' \cos{t} }{\sin^2{t} }[/math]

[math]y"=\frac{d^2 y}{d t^2}\sin^2{t}+\frac{d y}{d t}*\cos{t} \sin{t}[/math]

вот и ничего дальше не происходит а должно быть: [math]\frac{d^2 y}{d t^2}+ m^2y=0.[/math]

это мой первый опыт общения с диффурами, решил 12 подобных, с этим что то заклинило(

Автор:  pewpimkin [ 13 май 2013, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

А что такое x=lntg(t/2)?

Автор:  slog [ 13 май 2013, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

[math]x=x(t)=\ln{\operatorname{tg}{ \frac{t}{ 2 } } }[/math]

Автор:  Human [ 13 май 2013, 21:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

slog

Вы там [math]y[/math] у последнего слагаемого в исходном уравнении не забыли?

[math]\operatorname{th}x=-\cos t,\ \frac1{\operatorname{ch}^2x}=\sin^2t[/math]

Автор:  slog [ 13 май 2013, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

Да , забыл. Спасибо!

Автор:  slog [ 13 май 2013, 21:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

Human
то есть вот так я должен был сделать?
[math]x=\ln{\operatorname{tg}{ \frac{ t }{ 2 } } }=\ln{ \frac{ 2\sin{\frac{ t }{ 2 }\cos{\frac{ t }{ 2 } }} }{ 2\cos^2{\frac{ t }{ 2 } } } } = \ln{ \frac{ sin{t} }{ \sin{\frac{ t }{ 2 }+\cos^2{\frac{ t }{ 2 } }+\cos^2{\frac{ t }{ 2 } }-\sin{\frac{ t }{ 2 } } } =[/math]
[math]=\ln{ \frac{ \sqrt{1-\cos^2{t}}}{1 +\ cos{t}}[/math]
теперь[math]\operatorname{th}x=- \ cos{t}[/math]

тогда второй [math]\frac{ 1}{ \operatorname{ch}^2x }=1-\operatorname{th}^2{x}=1-\cos^2{t}=\sin^2{t}[/math]

Закрутили, закрутили))

Автор:  Human [ 13 май 2013, 23:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

Я чуть по-другому делал: расписывал гиперб. тангенс

[math]\operatorname{th}x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{\operatorname{tg}^2\frac t2-1}{1+\operatorname{tg}^2\frac t2}=\sin^2\frac t2-\cos^2\frac t2=-\cos t[/math]

Думаю, так будет корректнее, а то мне равенство [math]\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}[/math] не особо нравится.

Автор:  slog [ 14 май 2013, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Преобразовать обыкновенное диф уравнение

Чем ? Синус здесь положительный
Но Расписывая тангенс, безусловно проще)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/