| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Дифференциальное уравнение второго порядка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23942 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Andy [ 04 май 2013, 04:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение второго порядка |
Kateandreevaa Дано уравнение [math]y''-2y'+y=x^2-1.[/math] Решим сначала уравнение с нулевой правой частью [math]y''-2y'+y=0.[/math] Составим характеристическое уравнение: [math]k^2-2k+1=0[/math] и решим его: [math](k-1)^2=0,~k_1=k_2=1.[/math] Корни характеристического уравнения - вещественные числа, причём оба корня совпадают. Поэтому общим решением дифференциального уравнения будет функция [math]y_1=e^{k_1 x}(C_1+C_2 x}=e^x(C_1+C_2 x).~~~(1)[/math] Далее применим метод неопределённых коэффициентов. Правая часть заданного уравнения [math]f(x)=e^{ax}P_n(x)=e^{0x}(x^2-1)[/math] является двучленом степени [math]n=2.[/math] Поскольку число [math]a=0[/math] не является корнем характеристического уравнения, рассмотренного выше, постольку частное решение заданного уравнения суть многочлен степени [math]n=2[/math]: [math]y_2=e^{ax}Q_2(x)=Ax^2+Bx+D.[/math] Найдём коэффициенты многочлена: [math](y_2)'=2Ax+B,~(y_2)''=2A,[/math] [math]2A-2(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+D)=x^2-1,[/math] [math]Ax^2+(-4A+B)x+(2A-2B+D)=x^2-1,[/math] [math]A=1,~-4A+B=0,~2A-2B+D=1,[/math] [math]A=1,~B=4,~D=7.[/math] Значит, [math]y_2=x^2+4x+7.~~~(2)[/math] Общее решение заданного уравнения является суммой функций (1) и (2): [math]y=y_1+y_2=e^x(C_1+C_2 x)+x^2+4x+7.[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|