Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференциальное уравнение второго порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23942
Страница 1 из 1

Автор:  Kateandreevaa [ 03 май 2013, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Дифференциальное уравнение второго порядка

Вариант №4
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Спасибо!
Изображение

Автор:  Andy [ 04 май 2013, 04:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение второго порядка

Kateandreevaa

Дано уравнение [math]y''-2y'+y=x^2-1.[/math]

Решим сначала уравнение с нулевой правой частью [math]y''-2y'+y=0.[/math] Составим характеристическое уравнение: [math]k^2-2k+1=0[/math] и решим его: [math](k-1)^2=0,~k_1=k_2=1.[/math] Корни характеристического уравнения - вещественные числа, причём оба корня совпадают. Поэтому общим решением дифференциального уравнения будет функция
[math]y_1=e^{k_1 x}(C_1+C_2 x}=e^x(C_1+C_2 x).~~~(1)[/math]


Далее применим метод неопределённых коэффициентов. Правая часть заданного уравнения [math]f(x)=e^{ax}P_n(x)=e^{0x}(x^2-1)[/math] является двучленом степени [math]n=2.[/math] Поскольку число [math]a=0[/math] не является корнем характеристического уравнения, рассмотренного выше, постольку частное решение заданного уравнения суть многочлен степени [math]n=2[/math]:
[math]y_2=e^{ax}Q_2(x)=Ax^2+Bx+D.[/math]

Найдём коэффициенты многочлена: [math](y_2)'=2Ax+B,~(y_2)''=2A,[/math]
[math]2A-2(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+D)=x^2-1,[/math]

[math]Ax^2+(-4A+B)x+(2A-2B+D)=x^2-1,[/math]

[math]A=1,~-4A+B=0,~2A-2B+D=1,[/math]

[math]A=1,~B=4,~D=7.[/math]

Значит,
[math]y_2=x^2+4x+7.~~~(2)[/math]


Общее решение заданного уравнения является суммой функций (1) и (2):
[math]y=y_1+y_2=e^x(C_1+C_2 x)+x^2+4x+7.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/