| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Диффуры, проверить выкладки http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23894 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | student-himik [ 01 май 2013, 14:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Диффуры, проверить выкладки |
Завал с математикой, уповаю на помощь энтузиастов ![]() Прошу проверить: 1) Найти общий интеграл дифференциального уравнения: (y^2+1)^(1/2)dx - 2dy = xdy Решение: (y^2+1)^(1/2)dx = (x+2)dy dx/(x+2) = dy/(y^2+1)^(1/2) int(dx/(x+2)) = int(dy/(y^2+1)^(1/2)) ln|y + (y^2+1)^(1/2)| = (ln|x+2|) + C1 y + (y^2+1)^(1/2) = C(x + z), где C = e^C1 (y^2+1)^(1/2) = C(x+2) - y (y^2+1) = (C(x+2)-y)^2 (x^2 + 4x + 4)C^2 + ((-z)x - 4))Cy + y^2 = y^2 + 1 Ответ: y = (1 - C^2(x+2)^2)/(-2x - 4) 2) Найти общий интеграл дифференциального уравнения: x(3y^2 + x^2)dy = (4y^3 + 2x^(2)y)dx dy/dx = (4y^3 + 2x^(2)y)/(x(3y^2+x^2) = (4y^3 + 2x^(2)y)/(x^3 + 3y^(2)x) ] z = y/x, z'x + z = (4(zx)^3 + 2x^2(zx))/((x^3 + 3(zx)^(2)x) = (4(z^3 + 1))/(3z^ +1); dz/dx = 4(z^3 + 1)/(3z^2 + 1) - z = (4(z^3 + 1) - z(3z^2 + 1))/(3z^2 + 1) = (4z^3 + 4 - 3z^3 - z)/(3z^2 + 1) = (z^3 - z + 4)/(3z^2 + 1); dx/x = ((3z^2 + 1)/(z^3 - z + 4))dz ln|x| + C = int((3z^2 + 1)/(z^3 - z + 4))dz = int(u)dv = uv - int(v)du = интегрируем по частям: u = 1/(z^3 - z + 4), du = (1/(z^3 - z + 4))' = -(3z^2 - 1)(z^3 - z + 4)^(-2), dv = (3z^2 + 1)dz, v = int(3z^2 + 1)dz = z^3 + z = (1/(z^3 - z + 4))*(z^3 + 2) - int(-(3z^2 - 1)(z^3 - z + 4)^(-2)*(z^3 + 2))dz Но легче от этого не стало :/ Может, где ошибка? Сразу вопрос ещё: можно остальные выкладывать с решениями в этой же теме? |
|
| Автор: | mad_math [ 01 май 2013, 15:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
1) [math]y^2+1=(C(x+2)-y)^2;[/math] [math]y^2+1=C^2(x+2)^2-2Cy(x+2)+y^2;[/math] [math]1=C^2(x+2)^2-2Cy(x+2);[/math] [math]2Cy(x+2)=C^2(x+2)^2-1;[/math] [math]y=\frac{C^2(x+2)^2}{2C(x+2)}-\frac{1}{2C(x+2)};[/math] [math]y=\frac{C(x+2)}{2}-\frac{1}{2C(x+2)}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 01 май 2013, 15:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
student-himik писал(а): z'x + z = (4(zx)^3 + 2x^2(zx))/((x^3 + 3(zx)^(2)x) = (4(z^3 + 1))/(3z^ +1); [math]z'x+z=\frac{4(zx)^3+2x^2\cdot zx}{x^3+3(zx)^2\cdot x}[/math] откуда [math]z'x+z=\frac{x^3(4z^3+2z)}{x^3(1+3z^2)}[/math] или [math]z'x+z=\frac{4z^3+2z}{1+3z^2}[/math] |
|
| Автор: | student-himik [ 02 май 2013, 16:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
Т.е. дальше: z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2) = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2) Т.е. dx/x = dz/((z^3 + z)/(1+3z^2)) = ((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = (3z^2/(z(z^2 + 1))dz + (1/(z^3+z))dz = 3dz/(z^2 + 1) + dz/(z(z^2 + 1) Т.е. надо найти такой интеграл: int((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = int(3dz/(z^2 + 1)) + int(dz/(z(z^2 + 1)) = 3arctgz + int(dz/(z(z^2 + 1)) И тут опять проблема :/ Надо вносить под знак интеграла z^2 + 1? Т.е. int(dz/(z(z^2 + 1)) = 2*int(d(z^2 + 1)/(z(z^2 + 1))) а дальше наверно интегрировать по частям? Что тогда лучше обозначить за u и dv? |
|
| Автор: | mad_math [ 02 май 2013, 16:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
Это уравнение, а не математическое выражение, поэтому запись student-himik писал(а): z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2) = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2) абсолютно безграмотна.
|
|
| Автор: | student-himik [ 02 май 2013, 16:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
Прошу прощения, второй знак "=" лишний. Я имел ввиду: z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2); z'x = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2) и т. д. |
|
| Автор: | mad_math [ 02 май 2013, 16:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
student-himik писал(а): int((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = int(3dz/(z^2 + 1)) + int(dz/(z(z^2 + 1)) = 3arctgz + int(dz/(z(z^2 + 1)) Непонятно, что вы такое наделали и на каком основании?[math]d(z^3+z)=(3z^2+1)dz[/math] |
|
| Автор: | student-himik [ 02 май 2013, 16:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
Вот, решил написать для наглядности: В каком пункте ошибка? |
|
| Автор: | mad_math [ 02 май 2013, 17:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
В нахождении интеграла. Если интегралы брать не умеете, то в диффурах делать нечего. Я вам написала, что числитель дроби [math]\frac{(3z^2+z)dz}{z^3+z}[/math] является дифференциалом знаменателя и нет необходимости разбивать дробь на сумму. Арктангенс там вообще ни каким боком. Вы даже преобразования нормально выполнить не смогли: [math]\frac{3z^2}{z^3+z}=\frac{3z^2}{z(z^2+1)}=\frac{3z}{z^2+1}[/math] |
|
| Автор: | student-himik [ 02 май 2013, 18:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диффуры, проверить выкладки |
Действительно, z в числителе забыл) Так если не разбивать дробь как делать?Я понял, что надо внести z^2 + 1 вместо dz: int((1+3z^2)/(z^3+z))dz = 1/3*int((1+3z^2)/(z^2+1)z)d(z^2 + 1) |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|