Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Диффуры, проверить выкладки
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23894
Страница 1 из 2

Автор:  student-himik [ 01 май 2013, 14:14 ]
Заголовок сообщения:  Диффуры, проверить выкладки

Завал с математикой, уповаю на помощь энтузиастов :)
Прошу проверить:
1) Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(y^2+1)^(1/2)dx - 2dy = xdy
Решение:
(y^2+1)^(1/2)dx = (x+2)dy
dx/(x+2) = dy/(y^2+1)^(1/2)
int(dx/(x+2)) = int(dy/(y^2+1)^(1/2))
ln|y + (y^2+1)^(1/2)| = (ln|x+2|) + C1
y + (y^2+1)^(1/2) = C(x + z), где C = e^C1
(y^2+1)^(1/2) = C(x+2) - y
(y^2+1) = (C(x+2)-y)^2
(x^2 + 4x + 4)C^2 + ((-z)x - 4))Cy + y^2 = y^2 + 1
Ответ:
y = (1 - C^2(x+2)^2)/(-2x - 4)
2) Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
x(3y^2 + x^2)dy = (4y^3 + 2x^(2)y)dx
dy/dx = (4y^3 + 2x^(2)y)/(x(3y^2+x^2) = (4y^3 + 2x^(2)y)/(x^3 + 3y^(2)x)
] z = y/x, z'x + z = (4(zx)^3 + 2x^2(zx))/((x^3 + 3(zx)^(2)x) = (4(z^3 + 1))/(3z^ +1);
dz/dx = 4(z^3 + 1)/(3z^2 + 1) - z = (4(z^3 + 1) - z(3z^2 + 1))/(3z^2 + 1) = (4z^3 + 4 - 3z^3 - z)/(3z^2 + 1) =
(z^3 - z + 4)/(3z^2 + 1);
dx/x = ((3z^2 + 1)/(z^3 - z + 4))dz
ln|x| + C = int((3z^2 + 1)/(z^3 - z + 4))dz = int(u)dv = uv - int(v)du =
интегрируем по частям:
u = 1/(z^3 - z + 4), du = (1/(z^3 - z + 4))' = -(3z^2 - 1)(z^3 - z + 4)^(-2),
dv = (3z^2 + 1)dz, v = int(3z^2 + 1)dz = z^3 + z
= (1/(z^3 - z + 4))*(z^3 + 2) - int(-(3z^2 - 1)(z^3 - z + 4)^(-2)*(z^3 + 2))dz
Но легче от этого не стало :/ Может, где ошибка?
Сразу вопрос ещё: можно остальные выкладывать с решениями в этой же теме?

Автор:  mad_math [ 01 май 2013, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

1) [math]y^2+1=(C(x+2)-y)^2;[/math]

[math]y^2+1=C^2(x+2)^2-2Cy(x+2)+y^2;[/math]

[math]1=C^2(x+2)^2-2Cy(x+2);[/math]

[math]2Cy(x+2)=C^2(x+2)^2-1;[/math]

[math]y=\frac{C^2(x+2)^2}{2C(x+2)}-\frac{1}{2C(x+2)};[/math]

[math]y=\frac{C(x+2)}{2}-\frac{1}{2C(x+2)}[/math]

Автор:  mad_math [ 01 май 2013, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

student-himik писал(а):
z'x + z = (4(zx)^3 + 2x^2(zx))/((x^3 + 3(zx)^(2)x) = (4(z^3 + 1))/(3z^ +1);

[math]z'x+z=\frac{4(zx)^3+2x^2\cdot zx}{x^3+3(zx)^2\cdot x}[/math] откуда [math]z'x+z=\frac{x^3(4z^3+2z)}{x^3(1+3z^2)}[/math] или [math]z'x+z=\frac{4z^3+2z}{1+3z^2}[/math]

Автор:  student-himik [ 02 май 2013, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

Т.е. дальше:
z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2) = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2)
Т.е.
dx/x = dz/((z^3 + z)/(1+3z^2)) = ((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = (3z^2/(z(z^2 + 1))dz + (1/(z^3+z))dz = 3dz/(z^2 + 1) + dz/(z(z^2 + 1)
Т.е. надо найти такой интеграл:
int((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = int(3dz/(z^2 + 1)) + int(dz/(z(z^2 + 1)) = 3arctgz + int(dz/(z(z^2 + 1))
И тут опять проблема :/
Надо вносить под знак интеграла z^2 + 1?
Т.е. int(dz/(z(z^2 + 1)) = 2*int(d(z^2 + 1)/(z(z^2 + 1))) а дальше наверно интегрировать по частям? Что тогда лучше обозначить за u и dv?

Автор:  mad_math [ 02 май 2013, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

Это уравнение, а не математическое выражение, поэтому запись
student-himik писал(а):
z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2) = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2)
абсолютно безграмотна.

Автор:  student-himik [ 02 май 2013, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

Прошу прощения, второй знак "=" лишний. Я имел ввиду:
z'x + z = (4z^3 + 2z)/(1 + 3z^2);
z'x = (4z^3 + 2z - z(1 + 3z^2))/(1+3z^2) = (4z^3 + 2z - z - 3z^3)/(1+3z^2) = (z^3 + z)/(1+3z^2)
и т. д.

Автор:  mad_math [ 02 май 2013, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

student-himik писал(а):
int((3z^2 +1)/(z^3 + z))dz = int(3dz/(z^2 + 1)) + int(dz/(z(z^2 + 1)) = 3arctgz + int(dz/(z(z^2 + 1))
Непонятно, что вы такое наделали и на каком основании?
[math]d(z^3+z)=(3z^2+1)dz[/math]

Автор:  student-himik [ 02 май 2013, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

Вот, решил написать для наглядности:
Изображение
В каком пункте ошибка?

Автор:  mad_math [ 02 май 2013, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

В нахождении интеграла. Если интегралы брать не умеете, то в диффурах делать нечего. Я вам написала, что числитель дроби [math]\frac{(3z^2+z)dz}{z^3+z}[/math] является дифференциалом знаменателя и нет необходимости разбивать дробь на сумму.
Арктангенс там вообще ни каким боком. Вы даже преобразования нормально выполнить не смогли: [math]\frac{3z^2}{z^3+z}=\frac{3z^2}{z(z^2+1)}=\frac{3z}{z^2+1}[/math]

Автор:  student-himik [ 02 май 2013, 18:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диффуры, проверить выкладки

Действительно, z в числителе забыл)
Так если не разбивать дробь как делать?Я понял, что надо внести z^2 + 1 вместо dz:
int((1+3z^2)/(z^3+z))dz = 1/3*int((1+3z^2)/(z^2+1)z)d(z^2 + 1)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/