Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Простой диффур (потеря решения)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23493
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 16 апр 2013, 16:08 ]
Заголовок сообщения:  Простой диффур (потеря решения)

[math](y^2+xy^2) y' + x^2 - yx^2=0[/math]

Разделяю переменные:

[math]\frac{y^2 dy}{y-1} = \frac{x^2 dx}{x+1}[/math]

В итоге получаю общий интеграл ДУ:

[math]\frac{y^2}{2} + y + \ln|y-1| - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| = C[/math]

Насколько я понимаю, на втором шаге теряются возможные решения [math]y=1[/math] и [math]x=-1[/math], верно ли? И как проверить, являются ли они решениями или нет?

Автор:  Analitik [ 16 апр 2013, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Wersel
Подставить их в уравнение.

Автор:  Wersel [ 16 апр 2013, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Analitik
Замечательная идея. Если подставить [math]y=1[/math], при этом [math]y'=0[/math], тогда исходное уравнение обращается в тождество. Но как подставить [math]x=-1[/math]?

Автор:  Analitik [ 16 апр 2013, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

так же само

Автор:  Wersel [ 16 апр 2013, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Analitik
А чему будет равно [math]y'[/math] при [math]x=-1[/math]?

Автор:  Analitik [ 16 апр 2013, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

[math]y'[/math].
Вы подставьте [math]x=-1[/math]. Разве имеет значение чему будет равен [math]y'[/math]?

Автор:  Avgust [ 16 апр 2013, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Интересен частный случай. Если [math]C=0[/math] , то одно из решений:

[math]y=-x[/math]

В других случаях явных решений нет.

Автор:  Wersel [ 16 апр 2013, 18:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Analitik
Тогда равенства не получается, то есть [math]x=-1[/math] не является решением.

Из общего интеграла нам никак не получить решение [math]y=1[/math], то есть решением исходного уравнения будет совокупность общего интеграла и [math]y=1[/math]?

Автор:  Wersel [ 16 апр 2013, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Avgust
А как это Вы так получили?

Автор:  Wersel [ 17 апр 2013, 13:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Простой диффур (потеря решения)

Analitik
Я тут немного подумал, и получил вот что:

Исходное уравнение: [math](y^2+xy^2) y' + x^2 - yx^2=0[/math]

Запишем его в виде: [math](y^2+xy^2) + (x^2 - yx^2) x'=0[/math]

Подставим [math]x=-1, x'=0[/math]:

[math](y^2-y^2) + (1 - y) \cdot 0x'=0 \Rightarrow 0 = 0[/math], то есть [math]x=-1[/math] тоже является решением.

Если Вам будет не сложно, подскажите, пожалуйста, верно ли это.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/