| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Простой диффур (потеря решения) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23493 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 16 апр 2013, 16:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Простой диффур (потеря решения) |
[math](y^2+xy^2) y' + x^2 - yx^2=0[/math] Разделяю переменные: [math]\frac{y^2 dy}{y-1} = \frac{x^2 dx}{x+1}[/math] В итоге получаю общий интеграл ДУ: [math]\frac{y^2}{2} + y + \ln|y-1| - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| = C[/math] Насколько я понимаю, на втором шаге теряются возможные решения [math]y=1[/math] и [math]x=-1[/math], верно ли? И как проверить, являются ли они решениями или нет? |
|
| Автор: | Analitik [ 16 апр 2013, 17:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Wersel Подставить их в уравнение. |
|
| Автор: | Wersel [ 16 апр 2013, 17:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Analitik Замечательная идея. Если подставить [math]y=1[/math], при этом [math]y'=0[/math], тогда исходное уравнение обращается в тождество. Но как подставить [math]x=-1[/math]? |
|
| Автор: | Analitik [ 16 апр 2013, 17:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
так же само |
|
| Автор: | Wersel [ 16 апр 2013, 18:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Analitik А чему будет равно [math]y'[/math] при [math]x=-1[/math]? |
|
| Автор: | Analitik [ 16 апр 2013, 18:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
[math]y'[/math]. Вы подставьте [math]x=-1[/math]. Разве имеет значение чему будет равен [math]y'[/math]? |
|
| Автор: | Avgust [ 16 апр 2013, 18:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Интересен частный случай. Если [math]C=0[/math] , то одно из решений: [math]y=-x[/math] В других случаях явных решений нет. |
|
| Автор: | Wersel [ 16 апр 2013, 18:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Analitik Тогда равенства не получается, то есть [math]x=-1[/math] не является решением. Из общего интеграла нам никак не получить решение [math]y=1[/math], то есть решением исходного уравнения будет совокупность общего интеграла и [math]y=1[/math]? |
|
| Автор: | Wersel [ 16 апр 2013, 18:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Avgust А как это Вы так получили? |
|
| Автор: | Wersel [ 17 апр 2013, 13:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Простой диффур (потеря решения) |
Analitik Я тут немного подумал, и получил вот что: Исходное уравнение: [math](y^2+xy^2) y' + x^2 - yx^2=0[/math] Запишем его в виде: [math](y^2+xy^2) + (x^2 - yx^2) x'=0[/math] Подставим [math]x=-1, x'=0[/math]: [math](y^2-y^2) + (1 - y) \cdot 0x'=0 \Rightarrow 0 = 0[/math], то есть [math]x=-1[/math] тоже является решением. Если Вам будет не сложно, подскажите, пожалуйста, верно ли это. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|