Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Система диф уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23395
Страница 1 из 2

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Система диф уравнений

Здравствуйте! Помогите решить следующую систему. С чего начать? Каким методом решать?

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}'=90x_{1}+97x_{2}\\ & x_{2}'=-90x_{1}-96x_{2}\end{aligned}\right.[/math]

[math]x_{1}(0)=0[/math]
[math]x_{2}(0)= \frac{9}{97}[/math]

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 16:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Начал решать, вот что получилось:
Решил решать эту систему методом Эйлера.

[math]\begin{vmatrix}(90- \lambda ) & 97 \\ -90 & (-96- \lambda ) \end{vmatrix}= 0[/math]

[math](90- \lambda )(-96- \lambda )+8730=0[/math]

[math]\lambda^{2}+6\lambda+90=0[/math]

[math]\lambda_{1}=-3+9i[/math]

[math]\lambda_{2}=-3-9i[/math]

Тут у меня получились комплексные корни. С вещественными корнями я понимаю схему дальнейшего решения, а с комплексными затрудняюсь.

Автор:  mad_math [ 13 апр 2013, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Crossproi писал(а):
Каким методом решать?
Это у вас нужно спросить, какой метод указан в задании.
Можно, например, свести систему у линейному уравнению первого порядка, а можно через составление характеристического уравнения.

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Решать нужно любым удобным методом. Вот я и спрашиваю - каким лучше?

Автор:  mad_math [ 13 апр 2013, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Лично мне проще такие системы сводить к линейным уравнениям высших порядков.

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 19:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Вот, проверьте решение.

[math]x_{1}= -\frac{96}{90}x_{2}- \frac{x_{2}'}{90}[/math]

[math]x_{1}'=- -\frac{32}{30}x_{2}'- \frac{x_{2}''}{90}[/math]

[math]-\frac{32}{30}x_{2}'- \frac{x_{2}''}{90}=-96x_{2}-x_{2}'+97x_{2}[/math]

[math]x_{2}''+6x_{2}'+90=0[/math]

[math]\lambda^{2}+ 6 \lambda+90=0[/math]

[math]\lambda_{1}=-3+9i[/math]

[math]\lambda_{2}=-3-9i[/math]

[math]x_{2}=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t)[/math]

[math]x_{2}'=-3C_{1}e^{-3t}cos(9t)-9C_{1}e^{-3t}sin(9t)-3C_{2}e^{-3t}sin(9t)+9C_{2}e^{-3t}cos(9t)[/math]

[math]90x_{1}=-96C_{1}e^{-3t}cos(9t)-96C_{2}e^{-3t}sin(9t)+3C_{1}e^{-3t}cos(9t)+9C_{1}e^{-3t}sin(9t)+3C_{2}e^{-3t}sin(9t)-9C_{2}e^{-3t}cos(9t)[/math]

[math]x_{1}=C_{1}e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})-C_{2}e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90})[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}=C_{1}e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})-C_{2}e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90}) \\ & x_{2}=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t) \end{aligned}\right.[/math]

[math]x_{2}[/math] "некрасивый" получился, боюсь здесь где-то ошибка.

Автор:  mad_math [ 13 апр 2013, 20:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

У меня так же получилось.
Можно попробовать ввести другие константы.

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

mad_math писал(а):
Можно попробовать ввести другие константы.

Не понял. Как это?


Вот решение задачи Коши:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& -\frac{93}{90}C_{1}- \frac{9}{90}C_{2}=0 \\ & C_{1}= \frac{9}{97}\end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& C_{1}= \frac{9}{97}\\ & C_{2}=- \frac{93}{97}\end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}= \frac{ 9 }{ 97 } e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})+ \frac{ 93 }{ 97 } e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90}) \\ & x_{2}=\frac{ 9 }{ 97 }e^{-3t}cos(9t)-\frac{ 93 }{ 97 }e^{-3t}sin(9t) \end{aligned}\right.[/math]

Мда.......еще раз проверил, ошибок не нашел, видимо здесь действительно такое "корявое" решение

Автор:  mad_math [ 13 апр 2013, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

Crossproi писал(а):
Не понял. Как это?
Ну смотрите. [math]C_1[/math] - константа, [math]3C_1[/math] тоже будет константой. И [math]\frac{C_1}{90}-\frac{31}{31}C_2[/math] тоже будет константой, которую можно заменить, например, на [math]C_1'[/math].
Т.е. методом тыка можно попробовать найти такую замену, при которой и в первом, и во втором уравнениях будут более менее нормальные выражения.

Автор:  Crossproi [ 13 апр 2013, 22:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Система диф уравнений

mad_math писал(а):
Crossproi писал(а):
Не понял. Как это?
Ну смотрите. [math]C_1[/math] - константа, [math]3C_1[/math] тоже будет константой. И [math]\frac{C_1}{90}-\frac{31}{31}C_2[/math] тоже будет константой, которую можно заменить, например, на [math]C_1'[/math].
Т.е. методом тыка можно попробовать найти такую замену, при которой и в первом, и во втором уравнениях будут более менее нормальные выражения.


Ясно. Спасибо

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/