Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 15:56 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Помогите решить следующую систему. С чего начать? Каким методом решать?

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}'=90x_{1}+97x_{2}\\ & x_{2}'=-90x_{1}-96x_{2}\end{aligned}\right.[/math]

[math]x_{1}(0)=0[/math]
[math]x_{2}(0)= \frac{9}{97}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 16:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начал решать, вот что получилось:
Решил решать эту систему методом Эйлера.

[math]\begin{vmatrix}(90- \lambda ) & 97 \\ -90 & (-96- \lambda ) \end{vmatrix}= 0[/math]

[math](90- \lambda )(-96- \lambda )+8730=0[/math]

[math]\lambda^{2}+6\lambda+90=0[/math]

[math]\lambda_{1}=-3+9i[/math]

[math]\lambda_{2}=-3-9i[/math]

Тут у меня получились комплексные корни. С вещественными корнями я понимаю схему дальнейшего решения, а с комплексными затрудняюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 16:23 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
Каким методом решать?
Это у вас нужно спросить, какой метод указан в задании.
Можно, например, свести систему у линейному уравнению первого порядка, а можно через составление характеристического уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 16:30 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решать нужно любым удобным методом. Вот я и спрашиваю - каким лучше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 17:28 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Лично мне проще такие системы сводить к линейным уравнениям высших порядков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 19:48 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот, проверьте решение.

[math]x_{1}= -\frac{96}{90}x_{2}- \frac{x_{2}'}{90}[/math]

[math]x_{1}'=- -\frac{32}{30}x_{2}'- \frac{x_{2}''}{90}[/math]

[math]-\frac{32}{30}x_{2}'- \frac{x_{2}''}{90}=-96x_{2}-x_{2}'+97x_{2}[/math]

[math]x_{2}''+6x_{2}'+90=0[/math]

[math]\lambda^{2}+ 6 \lambda+90=0[/math]

[math]\lambda_{1}=-3+9i[/math]

[math]\lambda_{2}=-3-9i[/math]

[math]x_{2}=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t)[/math]

[math]x_{2}'=-3C_{1}e^{-3t}cos(9t)-9C_{1}e^{-3t}sin(9t)-3C_{2}e^{-3t}sin(9t)+9C_{2}e^{-3t}cos(9t)[/math]

[math]90x_{1}=-96C_{1}e^{-3t}cos(9t)-96C_{2}e^{-3t}sin(9t)+3C_{1}e^{-3t}cos(9t)+9C_{1}e^{-3t}sin(9t)+3C_{2}e^{-3t}sin(9t)-9C_{2}e^{-3t}cos(9t)[/math]

[math]x_{1}=C_{1}e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})-C_{2}e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90})[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}=C_{1}e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})-C_{2}e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90}) \\ & x_{2}=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t) \end{aligned}\right.[/math]

[math]x_{2}[/math] "некрасивый" получился, боюсь здесь где-то ошибка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 20:56 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня так же получилось.
Можно попробовать ввести другие константы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 21:24 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Можно попробовать ввести другие константы.

Не понял. Как это?


Вот решение задачи Коши:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& -\frac{93}{90}C_{1}- \frac{9}{90}C_{2}=0 \\ & C_{1}= \frac{9}{97}\end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& C_{1}= \frac{9}{97}\\ & C_{2}=- \frac{93}{97}\end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& x_{1}= \frac{ 9 }{ 97 } e^{-3t}( \frac{9sin(9t)-93cos(9t)}{90})+ \frac{ 93 }{ 97 } e^{-3t}( \frac{93sin(9t)+9cos(9t)}{90}) \\ & x_{2}=\frac{ 9 }{ 97 }e^{-3t}cos(9t)-\frac{ 93 }{ 97 }e^{-3t}sin(9t) \end{aligned}\right.[/math]

Мда.......еще раз проверил, ошибок не нашел, видимо здесь действительно такое "корявое" решение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 22:20 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Crossproi писал(а):
Не понял. Как это?
Ну смотрите. [math]C_1[/math] - константа, [math]3C_1[/math] тоже будет константой. И [math]\frac{C_1}{90}-\frac{31}{31}C_2[/math] тоже будет константой, которую можно заменить, например, на [math]C_1'[/math].
Т.е. методом тыка можно попробовать найти такую замену, при которой и в первом, и во втором уравнениях будут более менее нормальные выражения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система диф уравнений
СообщениеДобавлено: 13 апр 2013, 22:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 сен 2012, 19:07
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Crossproi писал(а):
Не понял. Как это?
Ну смотрите. [math]C_1[/math] - константа, [math]3C_1[/math] тоже будет константой. И [math]\frac{C_1}{90}-\frac{31}{31}C_2[/math] тоже будет константой, которую можно заменить, например, на [math]C_1'[/math].
Т.е. методом тыка можно попробовать найти такую замену, при которой и в первом, и во втором уравнениях будут более менее нормальные выражения.


Ясно. Спасибо


Последний раз редактировалось Crossproi 13 апр 2013, 22:59, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система уравнений

в форуме Алгебра

[Alexa]

7

263

09 янв 2022, 19:15

Система уравнений

в форуме Алгебра

Tenken

13

1263

02 авг 2016, 21:40

Система уравнений

в форуме Алгебра

vitlik2409

9

763

08 окт 2014, 22:13

Система уравнений

в форуме Алгебра

ivashenko

20

886

07 май 2016, 00:00

Система уравнений

в форуме Алгебра

neeara

10

485

08 июн 2018, 08:06

Система уравнений

в форуме Maple

Susanna Gaybaryan

1

451

24 май 2021, 07:43

Система уравнений

в форуме Алгебра

uiiiiiii

5

259

22 апр 2020, 17:21

Система уравнений

в форуме Алгебра

DeD

4

638

24 авг 2016, 22:05

Система уравнений

в форуме Алгебра

qwer

1

233

16 янв 2016, 21:52

Система уравнений

в форуме Алгебра

[Alexa]

5

274

29 дек 2021, 20:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved