| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Диф уравнения высших порядков http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23224 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Crossproi [ 06 апр 2013, 16:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Диф уравнения высших порядков |
Здравствуйте! Помогите с решением 1) [math]x'''-3x''+81x'+85x=0[/math] [math]x(0)=0; x'(0)=6; x''(0)=114[/math] [math]\lambda ^{3}-3 \lambda ^{2}+81 \lambda +85=0[/math] Далее решал уравнение по методу Кардано. Решение достаточно громоздкое, так что я опущу его. [math]\lambda _{1}=-1[/math] [math]\lambda _{2}=2+9i[/math] [math]\lambda _{3}=2-9i[/math] [math]x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}cos(9t)+C_{3}e^{2t}sin(9t)[/math] Далее надо решить задачу Коши [math]x(0)=0[/math] [math]0=C_{1}*1+C_{2}*1+C_{3}*0[/math] Что делать дальше? 2)[math]x''+6x'+90x=e^{t}(194t-81)[/math] [math]\lambda ^{2}+6\lambda +90=0[/math] [math]\lambda_{1}=-3+9i[/math] [math]\lambda_{2}=-3-9i[/math] [math]x=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t)[/math] Как действовать дальше? 3)[math]x''-9x'=-9cos(t)-sin(t)[/math] [math]\lambda ^{2}-9\lambda=0[/math] [math]\lambda_{1}=0[/math] [math]\lambda_{2}=9[/math] [math]x=C_{1}+C_{2}e^{9t}[/math] Как дальше действовать? |
|
| Автор: | Wersel [ 06 апр 2013, 16:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
1) Вы получили решение [math]x(t)[/math], находите [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math], составляете систему уравнений с тремя неизвестными (исходя из начальных условий), откуда находите значения [math]C_{1}, C_{2}[/math] и [math]C_{3}[/math]. 2,3) Далее необходимо найти частное решение данных лнду. |
|
| Автор: | Crossproi [ 06 апр 2013, 17:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Каким образом найти [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math]? Решить такие уравнения? [math]\lambda ^{2}-3 \lambda +81=0[/math] и [math]\lambda -3=0[/math] |
|
| Автор: | Crossproi [ 06 апр 2013, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Я понимаю, что дальше надо действовать способом похожим как при ЛДУ 1 порядка Я почитал здесь литературу, но все равно не могу сообразить как дальше действовать( static.php?p=linyeinye-neodnorodnye-uravneniya-s-postoyannymi-koeffitsientami |
|
| Автор: | Wersel [ 06 апр 2013, 17:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Crossproi писал(а): Каким образом найти [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math]? Решить такие уравнения? [math]\lambda ^{2}-3 \lambda +81=0[/math] и [math]\lambda -3=0[/math] Вы получили [math]x(t)[/math]. [math]x'(t)[/math] - первая производная по [math]t[/math], от [math]x(t)[/math], [math]x''(t)[/math] - вторая. |
|
| Автор: | Wersel [ 06 апр 2013, 17:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Crossproi писал(а): Я понимаю, что дальше надо действовать способом похожим как при ЛДУ 1 порядка Я почитал здесь литературу, но все равно не могу сообразить как дальше действовать( static.php?p=linyeinye-neodnorodnye-uravneniya-s-postoyannymi-koeffitsientami Метод неопределенных коэффициентов |
|
| Автор: | Crossproi [ 06 апр 2013, 18:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Ага..... посчитаю выложу |
|
| Автор: | Crossproi [ 06 апр 2013, 20:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
С первым заданием разобрался) По поводу метода неопределенных коэффициентов: правильно ли я составил функцию, которую нужно будет продифференцировать и подставить в исходное уравнение? Для 2 задания: [math]y_{1}=Ate^{t}(Bt+C)[/math] Для 3 задания: [math]y_{1}=Acos(t)+Bsin(t)[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 06 апр 2013, 21:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
Для второго: [math]y_{ch} = A e^t \cdot (Bt+C)[/math] Для третьего верно. |
|
| Автор: | Crossproi [ 07 апр 2013, 14:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Диф уравнения высших порядков |
2) [math]x'_{ch}=Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B[/math] [math]x''_{ch}=Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B+Ae^{t}B[/math] Подставим с исходное уравнение: [math]Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B+Ae^{t}B+6Ae^{t}(Bt-C)+6Ae^{t}B+90Ae^{t}(Bt-C)=e^{t}(194t-81)[/math] [math]A(Bt-C)+AB+AB+6A(Bt-C)+6AB+90A(Bt-C)=194t-81[/math] [math]ABt-AC+AB+AB+6ABt-6AC+6AB+90ABt-90AC=194t-81[/math] [math]97ABt-97AC+8AB=194t-81[/math] Как дальше составить систему, что бы найти коэффициенты? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|