Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Диф уравнения высших порядков
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23224
Страница 1 из 2

Автор:  Crossproi [ 06 апр 2013, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Диф уравнения высших порядков

Здравствуйте! Помогите с решением

1) [math]x'''-3x''+81x'+85x=0[/math]
[math]x(0)=0; x'(0)=6; x''(0)=114[/math]

[math]\lambda ^{3}-3 \lambda ^{2}+81 \lambda +85=0[/math]
Далее решал уравнение по методу Кардано. Решение достаточно громоздкое, так что я опущу его.
[math]\lambda _{1}=-1[/math]
[math]\lambda _{2}=2+9i[/math]
[math]\lambda _{3}=2-9i[/math]
[math]x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}cos(9t)+C_{3}e^{2t}sin(9t)[/math]
Далее надо решить задачу Коши
[math]x(0)=0[/math]
[math]0=C_{1}*1+C_{2}*1+C_{3}*0[/math]
Что делать дальше?

2)[math]x''+6x'+90x=e^{t}(194t-81)[/math]

[math]\lambda ^{2}+6\lambda +90=0[/math]
[math]\lambda_{1}=-3+9i[/math]
[math]\lambda_{2}=-3-9i[/math]
[math]x=C_{1}e^{-3t}cos(9t)+C_{2}e^{-3t}sin(9t)[/math]
Как действовать дальше?

3)[math]x''-9x'=-9cos(t)-sin(t)[/math]

[math]\lambda ^{2}-9\lambda=0[/math]
[math]\lambda_{1}=0[/math]
[math]\lambda_{2}=9[/math]
[math]x=C_{1}+C_{2}e^{9t}[/math]
Как дальше действовать?

Автор:  Wersel [ 06 апр 2013, 16:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

1) Вы получили решение [math]x(t)[/math], находите [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math], составляете систему уравнений с тремя неизвестными (исходя из начальных условий), откуда находите значения [math]C_{1}, C_{2}[/math] и [math]C_{3}[/math].

2,3) Далее необходимо найти частное решение данных лнду.

Автор:  Crossproi [ 06 апр 2013, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Каким образом найти [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math]?
Решить такие уравнения?
[math]\lambda ^{2}-3 \lambda +81=0[/math]
и
[math]\lambda -3=0[/math]

Автор:  Crossproi [ 06 апр 2013, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Я понимаю, что дальше надо действовать способом похожим как при ЛДУ 1 порядка
Я почитал здесь литературу, но все равно не могу сообразить как дальше действовать(
static.php?p=linyeinye-neodnorodnye-uravneniya-s-postoyannymi-koeffitsientami

Автор:  Wersel [ 06 апр 2013, 17:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Crossproi писал(а):
Каким образом найти [math]x'(t)[/math] и [math]x''(t)[/math]?
Решить такие уравнения?
[math]\lambda ^{2}-3 \lambda +81=0[/math]
и
[math]\lambda -3=0[/math]


Вы получили [math]x(t)[/math]. [math]x'(t)[/math] - первая производная по [math]t[/math], от [math]x(t)[/math], [math]x''(t)[/math] - вторая.

Автор:  Wersel [ 06 апр 2013, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Crossproi писал(а):
Я понимаю, что дальше надо действовать способом похожим как при ЛДУ 1 порядка
Я почитал здесь литературу, но все равно не могу сообразить как дальше действовать(
static.php?p=linyeinye-neodnorodnye-uravneniya-s-postoyannymi-koeffitsientami


Метод неопределенных коэффициентов

Автор:  Crossproi [ 06 апр 2013, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Ага..... посчитаю выложу

Автор:  Crossproi [ 06 апр 2013, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

С первым заданием разобрался)
По поводу метода неопределенных коэффициентов:
правильно ли я составил функцию, которую нужно будет продифференцировать и подставить в исходное уравнение?
Для 2 задания:
[math]y_{1}=Ate^{t}(Bt+C)[/math]
Для 3 задания:
[math]y_{1}=Acos(t)+Bsin(t)[/math]

Автор:  Wersel [ 06 апр 2013, 21:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

Для второго: [math]y_{ch} = A e^t \cdot (Bt+C)[/math]

Для третьего верно.

Автор:  Crossproi [ 07 апр 2013, 14:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диф уравнения высших порядков

2)
[math]x'_{ch}=Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B[/math]

[math]x''_{ch}=Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B+Ae^{t}B[/math]

Подставим с исходное уравнение:

[math]Ae^{t}(Bt-C)+Ae^{t}B+Ae^{t}B+6Ae^{t}(Bt-C)+6Ae^{t}B+90Ae^{t}(Bt-C)=e^{t}(194t-81)[/math]

[math]A(Bt-C)+AB+AB+6A(Bt-C)+6AB+90A(Bt-C)=194t-81[/math]

[math]ABt-AC+AB+AB+6ABt-6AC+6AB+90ABt-90AC=194t-81[/math]

[math]97ABt-97AC+8AB=194t-81[/math]

Как дальше составить систему, что бы найти коэффициенты?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/