Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пара диф. уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23043
Страница 1 из 1

Автор:  Crossproi [ 31 мар 2013, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Пара диф. уравнений

Здравствуйте! Помогите с решением

1) [math]\left( \left( t+1 \right)^{2}+x \frac{1}{tx+1}\right)dt+\left( t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{\sin^{2}(x+1)}\right)dx=0[/math]

2) [math]x'+ \frac{1}{12}x\operatorname{tg}\frac{t}{6}= \frac{1}{2x}2^{t}\cos\frac{t}{6}[/math]

1. [math]\frac{\partial P}{\partial x}= \frac{tx+1-xt}{(tx+1)^{2}}[/math]

[math]\frac{\partial Q}{\partial t}= \frac{tx+1-xt}{(tx+1)^{2}}[/math]

[math]\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}[/math]

Значит это уравнение в полных дифференциалах

[math]U=\int x(t+1)^{2}dx+\int x \frac{1}{tx+1}dx= \frac{(t+1)^{2}x^{2}}{2}+ \frac{tx-ln(tx+1)}{t^{2}}+\varphi (t)[/math]

[math]t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{sin^{2}(x+1)}\right)= \varphi '(t)+t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{sin^{2}(x+1)}\right)[/math]

[math]\varphi '(t)=0[/math]

[math]\varphi (t)=C[/math]

[math]\frac{(t+1)^{2}x^{2}}{2}+ \frac{tx-ln(tx+1)}{t^{2}}+C[/math]

2. Какой это тип ДУ?

Автор:  Ellipsoid [ 31 мар 2013, 13:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пара диф. уравнений

Crossproi писал(а):
2. Какой это тип ДУ?


Уравнение Бернулли.

Автор:  Crossproi [ 31 мар 2013, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пара диф. уравнений

Вот решение второго:

[math]2x'x+ \frac{2}{12}x^{2}tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math]

[math]z=x^{2}[/math]

[math]z'=2xx'[/math]

[math]z'+ \frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math]

[math]z'+\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})=0[/math]

[math]\frac{dz}{dt}= -\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})[/math]

[math]\int \frac{dz}{dt}= \int -\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})[/math]

[math]ln|z|=- \frac{1}{6}*(-6)* ln|cos( \frac{t}{6})|[/math]

[math]z=cos( \frac{t}{6})[/math]

[math]-\frac{t}{6}sin( \frac{t}{6})+\frac{t}{6}cos( \frac{t}{6})*tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math]

[math]\int 2^{t}cos( \frac{t}{6}) dt= \int 0[/math]

[math]\int 2^{t}cos( \frac{t}{6}) dt= C[/math]

Интеграл слева получается очень громоздким.....мне кажется я тут где-то ошибся :(
Так же хотелось бы услышать верно ли решен первый пример?

Автор:  mad_math [ 31 мар 2013, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пара диф. уравнений

Crossproi писал(а):
Интеграл слева получается очень громоздким....
Он берётся двукратным интегрированием по частям. Если не хочется возиться, то можно заметить, что
[math]\frac{z'}{\cos{\frac{t}{6}}}+\frac{z\operatorname{tg}\frac{t}{6}}{6\cos{\frac{t}{6}}}=\frac{z'}{\cos{\frac{t}{6}}}+\frac{z\sin{\frac{t}{6}}}{6\cos^2{\frac{t}{6}}}=\left(\frac{z}{\cos{\frac{t}{6}}}\right)'[/math]

И останется только проинтегрировать равенство
[math]\left(\frac{z}{\cos{\frac{t}{6}}}\right)'=2^t[/math]

Автор:  Crossproi [ 31 мар 2013, 20:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пара диф. уравнений

Действительно, так проще

[math]\frac{x^{2} }{cos( \frac{t}{6})}= \frac{2t}{ln(2)}+C[/math]

А что по первой задаче?

Автор:  mad_math [ 31 мар 2013, 22:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пара диф. уравнений

В первой задаче можно аналогичным образом выделить полные дифференциалы:
[math](t+1)^2dt+\frac{dx}{\sin^2(x+1)}+\frac{tdx}{tx+1}+\frac{xdt}{tx+1}=0[/math]

[math]d\left(\frac{(t+1)^3}{3}\right)+d\left(-\operatorname{ctg}(x+1)\right)+d\left(\ln{|tx+1|}\right)=0[/math]

И проинтегрировать полученное равенство.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/