| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Пара диф. уравнений http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23043 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Crossproi [ 31 мар 2013, 13:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Пара диф. уравнений |
Здравствуйте! Помогите с решением 1) [math]\left( \left( t+1 \right)^{2}+x \frac{1}{tx+1}\right)dt+\left( t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{\sin^{2}(x+1)}\right)dx=0[/math] 2) [math]x'+ \frac{1}{12}x\operatorname{tg}\frac{t}{6}= \frac{1}{2x}2^{t}\cos\frac{t}{6}[/math] 1. [math]\frac{\partial P}{\partial x}= \frac{tx+1-xt}{(tx+1)^{2}}[/math] [math]\frac{\partial Q}{\partial t}= \frac{tx+1-xt}{(tx+1)^{2}}[/math] [math]\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}[/math] Значит это уравнение в полных дифференциалах [math]U=\int x(t+1)^{2}dx+\int x \frac{1}{tx+1}dx= \frac{(t+1)^{2}x^{2}}{2}+ \frac{tx-ln(tx+1)}{t^{2}}+\varphi (t)[/math] [math]t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{sin^{2}(x+1)}\right)= \varphi '(t)+t \frac{1}{tx+1}+ \frac{1}{sin^{2}(x+1)}\right)[/math] [math]\varphi '(t)=0[/math] [math]\varphi (t)=C[/math] [math]\frac{(t+1)^{2}x^{2}}{2}+ \frac{tx-ln(tx+1)}{t^{2}}+C[/math] 2. Какой это тип ДУ? |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 31 мар 2013, 13:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пара диф. уравнений |
Crossproi писал(а): 2. Какой это тип ДУ? Уравнение Бернулли. |
|
| Автор: | Crossproi [ 31 мар 2013, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пара диф. уравнений |
Вот решение второго: [math]2x'x+ \frac{2}{12}x^{2}tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math] [math]z=x^{2}[/math] [math]z'=2xx'[/math] [math]z'+ \frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math] [math]z'+\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})=0[/math] [math]\frac{dz}{dt}= -\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})[/math] [math]\int \frac{dz}{dt}= \int -\frac{1}{6}z*tg( \frac{t}{6})[/math] [math]ln|z|=- \frac{1}{6}*(-6)* ln|cos( \frac{t}{6})|[/math] [math]z=cos( \frac{t}{6})[/math] [math]-\frac{t}{6}sin( \frac{t}{6})+\frac{t}{6}cos( \frac{t}{6})*tg( \frac{t}{6})=2^{t}cos( \frac{t}{6})[/math] [math]\int 2^{t}cos( \frac{t}{6}) dt= \int 0[/math] [math]\int 2^{t}cos( \frac{t}{6}) dt= C[/math] Интеграл слева получается очень громоздким.....мне кажется я тут где-то ошибся Так же хотелось бы услышать верно ли решен первый пример? |
|
| Автор: | mad_math [ 31 мар 2013, 17:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пара диф. уравнений |
Crossproi писал(а): Интеграл слева получается очень громоздким.... Он берётся двукратным интегрированием по частям. Если не хочется возиться, то можно заметить, что[math]\frac{z'}{\cos{\frac{t}{6}}}+\frac{z\operatorname{tg}\frac{t}{6}}{6\cos{\frac{t}{6}}}=\frac{z'}{\cos{\frac{t}{6}}}+\frac{z\sin{\frac{t}{6}}}{6\cos^2{\frac{t}{6}}}=\left(\frac{z}{\cos{\frac{t}{6}}}\right)'[/math] И останется только проинтегрировать равенство [math]\left(\frac{z}{\cos{\frac{t}{6}}}\right)'=2^t[/math] |
|
| Автор: | Crossproi [ 31 мар 2013, 20:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пара диф. уравнений |
Действительно, так проще [math]\frac{x^{2} }{cos( \frac{t}{6})}= \frac{2t}{ln(2)}+C[/math] А что по первой задаче? |
|
| Автор: | mad_math [ 31 мар 2013, 22:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пара диф. уравнений |
В первой задаче можно аналогичным образом выделить полные дифференциалы: [math](t+1)^2dt+\frac{dx}{\sin^2(x+1)}+\frac{tdx}{tx+1}+\frac{xdt}{tx+1}=0[/math] [math]d\left(\frac{(t+1)^3}{3}\right)+d\left(-\operatorname{ctg}(x+1)\right)+d\left(\ln{|tx+1|}\right)=0[/math] И проинтегрировать полученное равенство. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|