Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несколько диф. уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23026
Страница 1 из 2

Автор:  Crossproi [ 30 мар 2013, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Несколько диф. уравнений

Здравствуйте! Хотелось бы получить помощь в решение следующих диф. уравнений.

1) [math]x'= \frac{x}{t}+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math]

Тут у меня получилось такое решение:
Это однородное диф. уравнение
[math]\frac{ dx }{ dt }= \frac{ x }{ t }+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math]

[math]\frac{tdy+ydt}{dt}=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math]

[math]\frac{tdy}{dt}+y=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math]

[math]\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int \frac{dt}{t}[/math]

[math]\arcsin{y}= \ln{t}+C[/math]

[math]\arcsin{\frac{x}{t}}= \ln{t}+C[/math]

2) [math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math]
Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится

3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Автор:  Ellipsoid [ 30 мар 2013, 16:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Crossproi писал(а):
2)[math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math]
Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится

3)[math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?


Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка.

Автор:  Crossproi [ 30 мар 2013, 18:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Порешал второе уравнение, вот что получилось:
[math]x'+5x=0[/math]

[math]\frac{dx}{dt}=-5x[/math]

[math]\int \frac{dx}{5x}=-\int dt[/math]

[math]\frac{1}{5}ln|x|=-t*C(t)[/math]

[math]ln|x|=-5t*C(t)[/math]

[math]x=e^{-5t}*C(t)[/math]

[math]-5e^{-5t}*C(t)+e^{-5t}*C'(t)+5e^{-5t}*C(t)=e^{-5t}cos(t)[/math]

[math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math]

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(x)+C)[/math]

Найдем частные решения:

[math]1=1*(sin(1)+C)[/math]

[math]C=1-arcsin(1)[/math]

[math]x=e^{-5t}(sin(x)+1-arcsin(1))[/math]
Верно решил? И верно-ли решено 1 задание?

Автор:  Crossproi [ 30 мар 2013, 21:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Вот 3 задание:
[math]tx'+2x=0[/math]

[math]\frac{tdx}{dt}=-2x[/math]

[math]\int \frac{dt}{t}=-\int \frac{dx}{2x}[/math]

[math]ln|t|=-0.5ln|xC|[/math]

[math]t=x^{-0.5}C(t)[/math]

[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t^{2} -(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]\frac{2C'(x)t-(C(t))^{2}*2+2(C(t))^{2}}{t^{2}}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]\frac{2C'(t)}{t}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]2\int C'(t)=\int\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]

[math]2C(t)=tg(t)+C[/math]

[math]C(t)= \frac{tg(t)}{2}+C[/math]

[math]x=\left( \frac{tg(t)}{2}+C \right)^{2}[/math]

Вопрос тот же: Верно ли решил?

Автор:  Human [ 30 мар 2013, 21:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Crossproi писал(а):
[math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math]

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]


Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]?

Crossproi писал(а):
[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]


Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math].

Автор:  Crossproi [ 30 мар 2013, 21:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Human писал(а):

[math]C(t)=sin(x)+C[/math]

Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]?


Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено?

Верно-ли решена 1 задача?



Crossproi писал(а):
[math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math]

[math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math]


Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math].

Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет?

Автор:  Human [ 30 мар 2013, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Crossproi писал(а):
Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено?


Да не просто опечатка. Вы её потом до самого конца проносите, а потом при поиске частного решения Вы в неё подставляете единицу вместо нуля.

Crossproi писал(а):
Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет?


Недочёт остаётся. Чему равна производная от [math]C^2(t)[/math]?

Автор:  Alexdemath [ 30 мар 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Crossproi писал(а):
3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить

[math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math]

В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем

[math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math].

Автор:  Crossproi [ 30 мар 2013, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

"Пардон" действительно ошибся.
пересчитал [math]C=1[/math]
Получается [math]x=e^{-5t}(sin(x)+1)[/math]

[math]C^{2}(t)=2C(t)C'(t)[/math]
Вижу что там ошибся

Alexdemath писал(а):
Crossproi писал(а):
3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math]
Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение?

Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить

[math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math]

В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем

[math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math].

Спасибо, так действительно проще))))

А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию?

Автор:  Alexdemath [ 30 мар 2013, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несколько диф. уравнений

Crossproi писал(а):
А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию?

Однородное уравнение, решается стандартной заменой

[math]\begin{gathered}x = tz(t) \Rightarrow x' = z(t) + tz'(t) \hfill \\ z + tz' = z + \sqrt{1 -{z^2}}\hfill \end{gathered}[/math]

Теперь разделите переменные и проинтегрируйте.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/