| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Несколько диф. уравнений http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=23026 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Crossproi [ 30 мар 2013, 16:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Несколько диф. уравнений |
Здравствуйте! Хотелось бы получить помощь в решение следующих диф. уравнений. 1) [math]x'= \frac{x}{t}+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math] Тут у меня получилось такое решение: Это однородное диф. уравнение [math]\frac{ dx }{ dt }= \frac{ x }{ t }+\sqrt{1-( \frac{x}{t})^{2}}[/math] [math]\frac{tdy+ydt}{dt}=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math] [math]\frac{tdy}{dt}+y=y+\sqrt{1-y^{2}}[/math] [math]\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int \frac{dt}{t}[/math] [math]\arcsin{y}= \ln{t}+C[/math] [math]\arcsin{\frac{x}{t}}= \ln{t}+C[/math] 2) [math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math] Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится 3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math] Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение? |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 30 мар 2013, 16:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Crossproi писал(а): 2)[math]x'+5x=e^{-5t}\cos{t}; x(0)=1[/math] Тут надо решить задачу Коши, но сначала надо решить это диф. уравнение, но я не могу понять к какому типу оно отностится 3)[math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ cos^{2}t }[/math] Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение? Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. |
|
| Автор: | Crossproi [ 30 мар 2013, 18:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Порешал второе уравнение, вот что получилось: [math]x'+5x=0[/math] [math]\frac{dx}{dt}=-5x[/math] [math]\int \frac{dx}{5x}=-\int dt[/math] [math]\frac{1}{5}ln|x|=-t*C(t)[/math] [math]ln|x|=-5t*C(t)[/math] [math]x=e^{-5t}*C(t)[/math] [math]-5e^{-5t}*C(t)+e^{-5t}*C'(t)+5e^{-5t}*C(t)=e^{-5t}cos(t)[/math] [math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math] [math]C(t)=sin(x)+C[/math] [math]x=e^{-5t}(sin(x)+C)[/math] Найдем частные решения: [math]1=1*(sin(1)+C)[/math] [math]C=1-arcsin(1)[/math] [math]x=e^{-5t}(sin(x)+1-arcsin(1))[/math] Верно решил? И верно-ли решено 1 задание? |
|
| Автор: | Crossproi [ 30 мар 2013, 21:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Вот 3 задание: [math]tx'+2x=0[/math] [math]\frac{tdx}{dt}=-2x[/math] [math]\int \frac{dt}{t}=-\int \frac{dx}{2x}[/math] [math]ln|t|=-0.5ln|xC|[/math] [math]t=x^{-0.5}C(t)[/math] [math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math] [math]t* \frac{2C'(t)*t^{2} -(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] [math]\frac{2C'(x)t-(C(t))^{2}*2+2(C(t))^{2}}{t^{2}}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] [math]\frac{2C'(t)}{t}= t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] [math]2\int C'(t)=\int\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] [math]2C(t)=tg(t)+C[/math] [math]C(t)= \frac{tg(t)}{2}+C[/math] [math]x=\left( \frac{tg(t)}{2}+C \right)^{2}[/math] Вопрос тот же: Верно ли решил? |
|
| Автор: | Human [ 30 мар 2013, 21:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Crossproi писал(а): [math]\int C'(t)=\int cos(t)[/math] [math]C(t)=sin(x)+C[/math] Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]? Crossproi писал(а): [math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math] [math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math]. |
|
| Автор: | Crossproi [ 30 мар 2013, 21:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Human писал(а): [math]C(t)=sin(x)+C[/math] Необъяснимая трансформация [math]t[/math] в [math]x[/math]? Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено? Верно-ли решена 1 задача? Crossproi писал(а): [math]x=\left( \frac{C(t)}{t}\right)^{2}[/math] [math]t* \frac{2C'(t)*t-(C(t))^{2}*2t}{t^{4}}+2 \frac{(C(t))^{2}}{t^{2}}=t^{-1}\frac{1}{cos^{2}(t)}[/math] Ещё раз проверьте производную. А лучше возьмите [math]x=\frac{C(t)}{t^2}[/math]. Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет? |
|
| Автор: | Human [ 30 мар 2013, 21:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Crossproi писал(а): Просто опечатка. Если учесть что там [math]t[/math] верно-ли решено? Да не просто опечатка. Вы её потом до самого конца проносите, а потом при поиске частного решения Вы в неё подставляете единицу вместо нуля. Crossproi писал(а): Тоже опечатка, забыл квадрат при [math]t[/math] написать(когда с листочка списывал). Поправил в предыдущем посте. Больше недочетов нет? Недочёт остаётся. Чему равна производная от [math]C^2(t)[/math]? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 30 мар 2013, 22:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Crossproi писал(а): 3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math] Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение? Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить [math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math] В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем [math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math]. |
|
| Автор: | Crossproi [ 30 мар 2013, 22:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
"Пардон" действительно ошибся. пересчитал [math]C=1[/math] Получается [math]x=e^{-5t}(sin(x)+1)[/math] [math]C^{2}(t)=2C(t)C'(t)[/math] Вижу что там ошибся Alexdemath писал(а): Crossproi писал(а): 3) [math]tx'+2x=t^{-1} \frac{ 1 }{ \cos^{2}t }[/math] Тоже самое и тут. К какому типу относится это диф. уравнение? Решение почти очевидно. Умножьте обе части на [math]t[/math], должны получить [math]t^2x' + 2tx = \frac{1}{\cos^2t}[/math] В левой части нетрудно заметить производную произведения [math]t^2x(t)[/math], то есть имеем [math](t^2x)' = \frac{1}{\cos^2t}[/math] или, после интегрирования, [math]t^2x = \operatorname{tg}t + C[/math], окончательно [math]x=\frac{\operatorname{tg}t+C}{t^2}[/math]. Спасибо, так действительно проще)))) А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 30 мар 2013, 22:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несколько диф. уравнений |
Crossproi писал(а): А кто-нибудь что-то скажет по 1 заданию? Однородное уравнение, решается стандартной заменой [math]\begin{gathered}x = tz(t) \Rightarrow x' = z(t) + tz'(t) \hfill \\ z + tz' = z + \sqrt{1 -{z^2}}\hfill \end{gathered}[/math] Теперь разделите переменные и проинтегрируйте. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|